%\documentclass[a4paper,10pt,english]{article}
\documentclass[a4paper,10pt,swedish]{article}
%------------------------------
\input{top}
\newcommand{\fig}[1]{figur \ref{#1} på sidan \pageref{#1}}
%------------------------------

\title{Taktstyrda likspänningsomvandlare\\
\Large de tre grundkonstruktionerna\\
%Karl Hammar
}
\author{Karl Hammar}
\date{\small 2022-02-01}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

\newpage
\section*{Förord}

Jag har skrivit denna text eftersom jag behövde se hur dessa omvandlare beter
sig för olika värden på ingående komponenter och för att skriva ett program
som räknar ut hur strömmar och spänningar ser ut när man varierar dessa komponenter.
Denna text tar inte upp hur man från att känna av utspänning och ström
ska kunna styra omvandlaren.

I min föräldrageneration var mycken kurs- och teknisk litteratur skriven på svenska och
de texterna har trängts ut av de engelska; så jag  vill verka för att vi
ska kunna uttrycka oss på svenska och med svenska tekniska termer, även i
facklitteratur som denna.
Jag har också valt att undvika akronymer utan har försökt att hitta de
ord som beskriver det jag vill uttrycka.

Jag har använt vi-form, dels för att det känns naturligt och dels för att
vi, du som läser detta och jag som skriver, går igenom detta tillsammans.

De personer som känner sig bekväma med matematik och elektronik kan med fördel
hoppa över introduktionen eller läsa den kursivt och börja direkt vid rubriken
kraftceller.

\hfill \rule{2em}{0.5pt} \textit{Karl Hammar} \rule{2em}{0.5pt} \ind{2em}

\section*{Sammanfattning}

Som visas i figur \ref{pwrc} på sidan \pageref{pwrc}\ kan man med hjälp av en induktor, ett par kondensatorer och en brytare
kan man göra en likspänningsomvandlare som kan öka, minska eller vända (byta texken) på en inspänning
med låg effektförlust.

Nackdelen är dock att brytaren med sina plötsliga omkopplingar ger krusningar på utspänningen.
Dessa krusningar eller variationer i utspänningnen kan minskas genom att man väljer allt större kondensatorer
med allt mindre intern motstånd
och vi kan på så sätt få ut en glättad likspänning.
Samma princip gäller för de krusningar och strömstötar som uppstår på omvandlarens ingång.

Induktorn som är huvudkomponenten för omvandlaren behöver vara av en minsta storlek för att
hantera den energi som behövs lagras i den i omvandlarens olika arbetssteg.
Den minsta storleken som behövs är den som fås då induktorn arbetar på gränsen mellan hel och deltid.
Induktorn arbetar på heltid då det alltid flyter ström genom den och på deltid om det inte flyter ström genom den
under en del av dess arbetscykel.
Jag har valt att kalla detta för del-, gräns- och deldrift.
Man kan också minska de krusningar och strömstötar på in- och utgången genom att välja en induktor större induktans.

\newpage
\tableofcontents

\newpage
\pagestyle{plain}
\section{Introduktion}

Nedan är ett exempel på en kraftomvandlare som ger -12V ut.

\begin{figure}[ht]
  \centerline{%
    \includegraphics[scale=\schscale]{inv1.sch.bw.eps}
  }
  \caption{Negativ spänningsomvandlare med MC33063}
  \label{inv1}
\end{figure}

Till vänster finns motstånden $R_b$ och $R_t$, de bildar en
spänningsdelare som tillsammans med ingången \pin{FB} är en del av
återkopplingskedjan som ska se till att utspänningen håller sina
korrekta -12V.

I mitten finns kondensatorn $C_t$ som styr $U_1$s cykeltid $T_s$ och
därmed med vilken frekvens $f_s = 1/T_s$ som kretsen arbetar med.
På in- och utgångarna har vi kondesatorerna $C_{in}$ och $C_{ut}$ som
ser till att begränsa ström- och spänningstötar på in- och utgångarna till
konstruktionen.

Och till höger slutligen finns induktorn $L$ (den fyllda rektangeln),
dioden $D$ och transistorn vars kollektor och emitter är tillgängliga på
$U_1$s pinnar \pin{sw\_C} och \pin{sw\_E}.
De bildar tillsammans konstruktionens kraftcell.

Kraftcellen från figur \ref{inv1} finns återgiven i de streckade rutorna i figur \ref{inv2}A.
En spänningskälla $U_{in}$ är tillagd på dess ingång och
en last $Z$ på dess utgång. Lasten kan t.ex. vara ett enkelt motstånd
eller en förstärkare som behöver den negativa spänningen för att kunna
hantera signaler med både plus- och minusspänningar.
Om man stuvar om elektronikschemat genom att vända upp och ned på L, C och Z,
och låta D följa med upp, kan man rita det som i
\ref{inv2}B vilket kanske gör det lättare att förstå konstruktionen.

I dessa konstruktioner finns det två eller tre arbetssteg:
 \textbf{A} när transistorn $Q$ är öppen och dioden $D$ är stängd,
 \textbf{B} när $Q$ är stängd och $D$ leder och ev.
 \textbf{C} när både transistorn och dioden är stängda.
Kondensatorerna ser till att jämna ut in- och utspänningarna.

\begin{figure}[ht]
  \psfragABC
  \psfrag{Q}[Bl]{$Q$}
  \psfrag{L}[Bl]{$L$}
  \psfrag{CA}[Bl]{$C_{in}$}
  \psfrag{CB}[Bl]{$C_{ut}$}
  \psfrag{D}[Bl]{$D$}
  \psfrag{Z}[Bl]{$Z$}
  \centerline{%
    \includegraphics[scale=\schscale]{inv2.sch.bw.eps}
  }
  \caption{Olika sätt att rita kraftcellen}
  \label{inv2}
\end{figure}

Om vi utgår från figur \ref{inv2}B,
så ser vi att när $Q$ är öppen (dvs. den leder ström genom att man tillför ström på
dess bas) så har dioden $D$ spänning i spärrriktningen så den är
stängd och ström flödar genom induktorn $L$ uppifrån nedåt.
Stängs sedan $Q$ (genom att basen blir strömlös) vill induktorn $L$
fortsätta driva ström genom sig så den drar ström genom $D$ och $D$
blir då öppen.
Genom att $L$ drar ström uppifrån ner, kommer strömmen cirkulera
motsols så att strömmen genom $Z$ kommer nerifrån upp.
Det ger att spänningen över $Z$ blir negativ och utgångskondensatorn $C_{ut}$ laddas upp.
Om sedan strömmen genom induktorn blir noll, då stänger $D$ igen
pga. den spänning som har byggts upp över $C_{ut}$.

Vi har då dessa tre arbetssteg: \textbf{A} $Q$ öppen och $D$ stängd,
\textbf{B} $Q$ stängd och $D$ öppen, och ev.
\textbf{C} både $Q$ och $D$ är stängda.
Det gör att vi kan, för att förenkla, ersätta $Q$ och
$D$ med strömställaren $S$ som i figur \ref{inv2}C.
Det enda vi kan styra är tiden som $S$ står i steg \textbf{A},
sedan följer \textbf{B} och ev. \textbf{C} automatiskt.

Transistorn $Q$ är vanligtvis nuförtiden en mosfet
och dioden $D$ är fördetmesta en schottkydiod men kan även den vara en
mosfet.

\subsection{Enheter och symboler}

I nedanstående tabell listas olika storheter, hur de förkortas i
ekvationer (beteckning) och vilken enhet som används.\\

\begin{tabular}{lclcl}
Begrepp & beteckning & enhet & enhet kort & alt. form\\
\hline\\[-2ex]
Tid                & T & sekund  & $s$\\
Elektrisk ström    & I & Ampere  & $A$\\
Avstånd, sträcka   & s & meter   & $m$\\
Elektrisk spänning & U & Volt    & $V$ & $W/A$\\
Motstånd           & R & Ohm     & $\ohm$ & $V/A$\\
Effekt             & P & Watt    & $W$ & $J/s$\\
Energi             & E & Joule   & $J$ & $Nm$\\
Kraft              & F & Newton  & $N$ & $kg m/s^2$\\
Kapacitans         & C & Farad   & $F$ & $As/V$\\
Induktans          & L & Henry   & $H$ & $Vs/A$\\
Laddning           & Q & Coulomb & $C$ & $As$ \\
Magnetiskt flöde   & \textPhi & Weber & $Wb$ & $Vs$ \\
\end{tabular}
\vspace{0.5em}

Eftersom alfabetet innehåller begränsat många tecken och att man för
det mesta vill ha beteckningar med en bokstav, lånar man ofta tecken
från grekiskan, som i vårt fall med \textPhi\ (uttalas fi).
Det kan vara bra att veta att samma tecken kan betyda olika saker inom
olika ämnesområden.
Stora bokstäver avser som oftast fasta värden (som likspänning och
-ström) och små bokstäver det som varierar, exempelvis
$i = I_{dc} + i_{ac}$.

\subsection{Dimensionsanalys}

En praktisk sak man kan göra när man vill kontrollera om en ekvation
man löst är att göra en dimensionsanalys.
Istället för att arbeta med siffrorna (t.ex. 12 i 12V) titar man på
enheterna (t.ex. V i 12V).
Om vi vill kontrollera en ekvation sätter vi in
storheternas enheter i ekvationen, struntar i siffrorna, tar bort plus
och minustecken och ser om vi
får något vettigt.
Tag t.ex. ekvationen $Q = CU$, sätt in enheterna istf. beteckningarna,
$As = F V$, byt ut Farad mot dess alternativa form,
$As = (As/V) V$, Volt/Volt försvinner och kvar är
$As = As$.

Ett annat exempel är $E = I_L^2L/2$ (finns under rubriken
energilager), kan det stämma?
Sätt in enheterna och tag bort konstanten 2: $J = A^2 H $, byt ut Henry
mot sin alternativa form, $J = A^2 (Vs/A)$, Ampere/Ampere
förvinner, $J = AVs$, byt ut Volt, $J = A (W/A) s$, förenkla, $J = Ws$,
byt ut Watt, $J = (J/s) s$ vilket ger $J = J$.

Under rubriken \textbf{Approximationer} längre fram i texten, finns ekvationen 
$u_C(t) = U_C e^{-t/(RC)}$.
$u_C$ och $U_C$ har båda dimensionen Volt, så där stämmer det,
men det som finns i exponenten måste vara dimensionslöst%
\footnote{Att beränka $e$ upphöjt till en siffra går bra, men $e$ upphöjt till en enhet är inte definierat}
(när man räknar med enheter skrivs det som en enkel etta ``1'').
Låt oss först titta på tisdskonstanten
$\tau = RC \rightarrow \ohm F = (V/A) (As/V) = s$.
Exponentens dimensionsanalys blir då
$-t/(RC) \rightarrow s/(\frac{V}{A} \frac{As}{V}) \rightarrow s/s = 1$,
dvs. dimentionslöst, precis vad vi behövde.

Dimensionsanalys är ett enkelt och praktiskt sätt att kontrollera sina
ekvationer med.

\subsection{Kondensatorer och induktorer}

Kondensatorer och induktorer är så kallade reaktiva komponenter.
De betyder att, i en växel\-ströms\-krets, de är en belastning som
till skillnad från motstånd inte förbrukar någon energi
 utan de lagrar den för att senare kunna avge den.
Och deras förmåga att lagra energi är det som är användbart för oss i
en likspänningsomvandlare.
Deras lagringsförmåga kallas kapacitans resp. induktans.
I en kondensator tillför man energi genom att låta en ström strömma genom den
och i en induktor genom att lägga en spänning över den.
En kondensator är kanske inte så svår att förstå, den är som en behållare
vari man kan lägga, i vårt fall, elektroner och brist på elektroner.
Man kan fylla på snabbt eller långsamt och ta ut snabbt eller långsamt.
I vårt fall är vi intresserade av att fylla på snabbt, dvs. hög ström under kort tid,
och ta ut långsamt, dvs. lägre ström under längre tid.
En induktor kan vara lite svårare att få grepp på.
Den är som ett tungt hjul som man kan få ta i för att få den att rotera och
sedan snurrar den på av egen fart.
Analogin är ``ta i'' --- anslut spänning, och ``snurra'' --- ström flyter runt i kretsen.

\begin{figure}[ht]
  \psfrag{CC}[Bl]{$C$}
  \psfrag{LL}[Bl]{$L$}
  \psfrag{IC}[Bl]{$i_C$}
  \psfrag{IL}[Bl]{$i_L$}
  \psfrag{UC}[Br]{$u_C$}
  \psfrag{UL}[Br]{$u_L$}
  \centerline{%
      \includegraphics[scale=\schscale]{inv3.sch.bw.eps}
    }
  \caption{Spänning och ström över kondensatorer och induktorer}
  \label{inv3}
\end{figure}

En kondensators kapacitans mäts i Farad = F = C/V = As/V och
en spoles (en induktors) induktans mäts i Henry = H = Wb/A = Vs/A.
Kondensatorn lagrar laddningar (As) och induktorn magnetiskt flöde (Vs).

Verkliga kondensatorer har begränsningar.
T.ex. beror kapacitansen på den pålagda lik- och växelspänningen.
Till vänster i figur \ref{cap_curves} ser vi att kapacitansen sjunkit till 50\% av
det nominella värdet vid 8V. Till höger, i den övre, gröna (ljusa) kurvan, ser vi att över
resonansfrekvensen (ung. 2MHz) fungerar den inte som kondensator längre.
Spolar har också begränsningar, främst i hur mycket ström de tål,
inom vilket frekvensområde de fungerar bäst i och vilka temperaturer
de tål.
Men så länge man håller sig inom ett lämpligt arbetsområde för
komponenten så är de viktigaste parametrarna kompenentens kapacitans resp. induktans,
spänningstålighet, strömtålighet, temperaturtålighet och
det interna motståndet.

\begin{figure}[ht]
\hfill%
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{kondensator_kapvolt.eps}%
\hfill%
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{kondensator_imp_esr.eps}
\hfill%
\caption{DC spänning mot Kapacitans till vänster, och frekvens mot
  Z (grön/ljus) och internt motstånd (blå/mörk) till höger,
  (4,7\textmu F, 16V, lbh: 2x1,25x1,25mm)}
\label{cap_curves}
\end{figure}

%\vspace{-1em}

För en ideal kondensator gäller sambandet $Q = CU$ och
for en ideal induktor $\Phi = L I$.
Några exempel:
\begin{itemize}
\item om det är 1V över en kondensator på 1F så innehåller den
 laddningen 1 As,\\
 eller med andra ord
 $Q = U C = 1V \cdot 1F = 1V \cdot 1As/V = 1As$
\item om vi laddar en kondensator på 330pF med 20mA under 39ms så får
  den spänningen:
  $U = Q / C = I T / C = 20mA \cdot 39\mu s / 330pF \approx 2,\!36V$
\item om det går 1A genom en spole (induktor) på 1H så har den det
  magnetiska flödet 1Vs:\\
  $\Phi = I L = 1A \cdot 1 Vs/A = 1 Vs$
\item om vi lägger på 40V över en spole på 180\textmu H under 18ms så
  uppstår strömmen:\\
  $I = \Phi / L = U T / L = 40V \cdot 13\mu s / 180\mu H \approx 2,\!9A$
\end{itemize}

\begin{figure}[ht]
  \psfragABC
  %
  \psfrag{LL}[Bl]{$L$}
  \psfrag{CC}[Bl]{$C$}
  \psfrag{RL}[Bl]{$R_L$}
  \psfrag{RC}[Bl]{$R_C$}
  %
  \psfrag{IL}[Bl]{$i_L$}
  \psfrag{IC}[Bl]{$i_C$}
  \psfrag{UL}[Br]{$u_L$}
  \psfrag{Q}[Br]{$u_C$}
  \psfrag{UR}[Br]{$u_R$}
  %
  \centerline{\includegraphics[scale=\schscale]{esr.sch.bw.eps}}
  \caption{Interna motstånd}
  \label{esr}
\end{figure}

Vi kommer framöver räkna med ideala komponenter om inget annat anges.
Verkliga induktorer och kondensatorer avviker från det teoretiska
beteendet, speciellt om man utsätter komponenten för spänningar och
strömmar som ligger utanför de av tillverkaren specifierade.
Som en första approximation av en verklig komponent kan man ange dess
interna motstånd (även kallat ``ESR'', ``equivalent series resistance'' på engelska),
 se figur \ref{esr}.

En del energi försvinner på grund av det interna motståndet.
För en induktor kan vi normalt bortse från $R_L$ vid dimensioneringen av $L$,
vi väljer en kompoent med närmaste större värde och med en viss marginal i arbetsområdet
och vill vi ha mer detaljerad information om beteendet kan vi i många fall
simulera konstruktionen.
Vi kan se det som om att beräkningarna i denna text är till för att
uppskatta värden på komponenter och ge startvärden för envetuella noggrannare
beräkningar.
För att få en känsla på hur stor $R_L$ kan vara kan vi titta på
värdena för Bourns SRR1208-331KL.
Det är en ytmonterad induktor på $330\mu H$ där $R_L = 0,\!65 \ohm$
och den är konstruerad för strömmar upp till $1A$.
Det betyder att spänningen över $R_L$ är mindre än
$0,\!65 \cdot 1 V = 0,\!65V$.
Om nu $U_{in} = 12V$ ser vi att den spänningen är
för liten för att påverka
beräkningarna i någon nåmnvärd grad, $0,\!65 / 12 \approx 5\%$ vilket är mindre
än tillverkningstoleransen för induktorn ($\pm 10\%$).
Men är $U_{in} = 2V$, kanske vi ska välja en annan komponent.

\subsection{Skillnader}

När man vill titta på skillnader över tid
använder man differentialer och derivator.
En differens eller differential är en liten ändring (av
t.ex. strömmen $i$) och betecknas med
ett vanligt eller grekiskt d (dvs.\/ $\Delta i, \ud i, \partial i$) beroende på
om det är en liten (eller stegvis), mikroskopisk (kontinuerlig) eller
``partiell'' (dvs. en del-) ändring.
Så, för en kondensator med konstant inström $I$, ger en liten ändring
i tiden $\Delta t$ en liten ändring i spänningen
$\Delta u = (I/C)\Delta t$.
Ändringshastigheten blir då $\Delta u/\Delta t = I/C$, pss. för en
spole $\Delta i/\Delta t = U/L$:

\begin{itemize}
\item om vi matar en en kondensator på 10\textmu F med 1,33mA så ökar
  spänningen med:\\
  $\Delta u/\Delta t = I / C = 1,\!33mA/(10\mu As/V) = 133mV/ms$
\item om vi spänningsätter en spole på 100\textmu H med 2,5V så ökar
  strömmen med:\\
  $\Delta i/\Delta t = U/L = 2,\!5V/(100\mu Vs/A) = 25mA/\mu s$
\end{itemize}

Denna ändringshastighet kan ses som en lutning på kurvan som beskriver t.ex.
strömmens utveckling över tiden.
Ju snabbare förändring desto brantare kurva.
Med lutning avses inte i detta fall vilken grad man utläsa med en gradskiva,
utan hur mycket $y$ ändras när man tar ett steg i $x$-riktningen.
$\Delta i/\Delta t$ betyder hur mycket $i$ ändras när $t$ ökar med ett.

Om den pålagda strömmen/spänningen inte är konstant får vi använda
derivator istället, dvs. $\ud u/\ud t = i/C$ och $\ud u/\ud t = u/L$.
$\ud i/\ud t$ är som $\Delta i/\Delta t$ men där $\Delta t$ är så litet som
möjligt.
Både $\ud i/\ud t$ och $\Delta i/\Delta t$ kan ses som lutningen på
induktorns tids--strömkurva  (se figur \ref{derivata}),
ju större värde dessa har desto brantar lutning.
Som vi ser av figur \ref{derivata}, kommer $\Delta i$ för högt upp på
kurvan för stora $\Delta t$, $\ud i/\ud t = 0$ (= horisontell), medans
$\Delta i/\Delta t \approx 1,\!5/4$.
Ju mindre $\Delta t$ är desto närmare kommer $\Delta i/\Delta t$ till
$\ud i/\ud t$.

\begin{figure}[ht]
\centerline{%
\kurva{0.7} {0}{4.3}{$t [s]$} {0}{4}{$i(t) [A]$}{}{
  \draw (1,1) arc(-90:-107:4);
  \draw[name path=k] (1,1) arc(-90:-30:4);
  \draw[name path=d] (0,0.54858) -- (4.5,2.58);
  %
  \fill [name intersections={of=k and d}]
  (intersection-1) circle (1mm)
  (intersection-2) circle (1mm);
  %
  \draw (0,1) -- (4.5,1);
  %
  \node (d) at (2,3.5) {$\Delta i/\Delta t$};
  \draw[thin,<-] (3,1.9028) -- (d);
  %
  \node (d) at (2,0.3) {$\ud i/\ud t$};
  \draw[thin,<-] (2.5,1) -- (d);
  %
  \node (dt) at (2.5,-1) {$\Delta t$};
  \draw[thin,<-] (1,-1) -- (dt);
  \draw[thin,<-] (4,-1) -- (dt);
  %
  \node (di) at (-1,1.6771) {$\Delta i$};
  \draw[thin,<-] (-1,1) -- (di);
  \draw[thin,<-] (-1,2.3542) -- (di);
}
}
\caption{Skillnaden mellan differentialbråk ($\Delta i/\Delta t$) och
  derivata ($\ud i/\ud t$)}
\label{derivata}
\end{figure}

\subsection{Summor}

Motsatsen till skillnader är summor.
$Q = IT$ och $\Phi = UT$ är summor över tiden.
Eftersom de är skrivna med stora bokstäver avser man
konstanta $I$ resp. $U$ eller medelvärden över tiden.
Generellt lyder formlerna $Q = \sum i_n \Delta t_n$
då $i_n$'a är konstanta över tidsintervallen $\Delta t_n$, annars får man
använda $Q = \int i(t)\ud t$ och på motsvarande sätt gäller att
$\Phi = \sum u_n \Delta t_n$ alt. $\Phi = \int u(t)\ud t$.
$\sum$, sigma, är den grekiska bokstaven för stora S,  ``S'' som i summa, och
$\int$, integral, är bara ett långt utdraget S, också det som i summa.

$Q$ och $\Phi$ kan ses som ytan under tids-ström
resp. tids-voltkurvorna, där ytan ovanför tidsaxeln plussas på och
ytan under tidsaxeln dras bort.
Som exempel ser vi att
i figur \ref{IVt}A och \ref{IVt}B är den tillförda laddningen lika ($4s \cdot 1,\!5A=6As$).
I \ref{IVt}C är den tillförda laddningen noll, eftersom det först gått ut $1As$ för
att sedan tillförts $1As$.

%\vspace{1ex}
\begin{figure}[ht]
%
\kurva{0.7} {0}{4}{$t [s]$} {0}{2}{$i(t) [A]$}{
  \fill[gray!50] (0,0) -- (0,1.5) -- (4,1.5) -- (4,0);
}{
  \draw (current bounding box.south) node[text height=20] {A, Konstant ström};
  \draw[] (0,1.5) -- (4,1.5);
  %
  \node (lbl) at (2.0,2.4) {$Q$};
  \draw[thin] (1.0,1.0) -- (lbl);
  \fill (1.0,1.0) circle[radius=0.7mm];
}
%
\kurva{0.7} {0}{4}{$t [s]$} {0}{2}{$i(t) [A]$}{
  \fill[gray!50] (0,0) -- (0,1) -- (1,2) -- (2,1) -- (3,2) -- (4,1) --
  (4,0);
}{
  \draw (current bounding box.south) node[text height=20] {B, Variabel ström};
  \draw (0,1) -- (1,2) -- (2,1) -- (3,2) -- (4,1);
  %
  \node (lbl) at (2.0,2.4) {$Q$};
  \draw[thin] (1.0,1.0) -- (lbl);
  \fill (1.0,1.0) circle[radius=0.7mm];
}
%
\kurva{0.7} {0}{4}{$t [s]$} {-1}{1}{$i(t) [A]$}{
  \fill[gray!50] (0,0) -- (0,-1) -- (4,1) -- (4,0);
}{
  \draw (current bounding box.south) node[text height=20] {C, \textpm ström};
  \draw[] (0,-1) -- (4,1);
  %
  \node (neg) at (0.8,1.0) {$-q$};
  \draw[thin] (0.5,-0.3) -- (neg);
  \fill (0.5,-0.3) circle[radius=0.7mm];
  %
  \node (pos) at (2.0,1.0) {$+q$};
  \draw[thin] (3.5,0.3) -- (pos);
  \fill (3.5,0.3) circle[radius=0.7mm];
}
\caption{Olika ström/tid kurvor}
\label{IVt}
\end{figure}

\subsection{Medelvärden}

Det finns olika sorters ``medelvärden'', vad vi är intresserade av
här är det vanliga s.k. ``aritmetiska'' medelvärdet, dvs. då man
summerar och dividerar med antal värden man summerat, exemelvis
$(10 + 20)/2$.
Man kan även ta medelvärden av kurvor genom att
 helt enkelt räkna ut ytan under kurvan, 
 där ytan ovanför tidsaxeln plussas på och
 ytan under tidsaxeln dras bort och sedan dividera det med tidsintervallet.
Medelvärden kan skrivas som $\langle x \rangle$,
dvs. med vinkelklamrar, en del använder ett streck över som i $\overline{x}$,
det finns andra varianter också.
Medelvärdet av en ström över en arbetscykel är\\[0.5ex]
\eqnlineB{\langle i \rangle}{=}{\frac{\int_0^{T_s} i(t) dt}{T_s}}\\[1ex]
%
Eftersom medelvärden är summor eller integraler är $\langle i_1 + i_2 \rangle = \langle i_1 \rangle + \langle i_2 \rangle$.
%
Om medelvärdet av $i(t)$ för intervallet $0 \dots T_1$ är $I_M$ och $i(t) = 0$ utanför det intervallet,
så blir medelvärdet över intervallet $0 \dots T_s$ där $T_s > T_1$\\[0.5ex] 
\eqnlineB{\langle i \rangle}{=}{\frac{\int_0^{T_s} i(t) dt}{T_s} =
 \frac{\int_0^{T_1} i(t) dt + \int_{T_1}^{T_s} i(t) dt}{T_s}}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\frac{\int_0^{T_1} i(t) dt + 0}{T_s} =
 \frac{T_1 \int_0^{T_1} i(t) dt}{T_s T_1}}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\frac{T_1}{T_s} \frac{\int_0^{T_1} i(t) dt}{T_1} = \frac{T_1}{T_s} I_M}\\[1ex]


% = \frac{I_M T_1}{T_s} = \frac{T_1}{T_s} I_M}\\
Exempelvis är medelströmmen av kurvorna i \ref{IVt}A och B
över perioden 0 till 4s $1,\!5A$ och för \ref{IVt}C är den noll.
Om vi däremot tar medelvärdet för \ref{IVt}C under tiden 2 till 4s
så blir det $0,\!5$ (ytan är $b h/2 = (4-2)\cdot 1/2 = 1$,
 dividrat med tidsintervallet $(4-2)$ ger $0,\!5$).


\subsection{Energilager}

\begin{figure}[ht]
  \psfragABC
  \psfrag{SS}[Bc]{$S$}
  \psfrag{CC}[Bl]{$C$}
  \psfrag{LL}[Bl]{$L$}
  \psfrag{RR}[Bl]{$R$}
  \psfrag{IC}[Bl]{$i_C$}
  \psfrag{IL}[Bl]{$i_L$}
  \psfrag{IR}[Bl]{$i_R$}
  \psfrag{UC}[Br][br]{$u_C$}
  \psfrag{UL}[Br][br]{$u_L$}
  \psfrag{iG}[Bl]{$i_{in}$}
  \psfrag{IG}[Bl]{$I_{in}$}
  \psfrag{GI}[Bl]{$I_{in}$}
  \psfrag{GU}[Bl]{$U_{in}$}
  \psfrag{AA}[Bc]{\textsf{A}}
  \psfrag{BB}[Bc]{\textsf{B}}
  \centerline{%
    \includegraphics[scale=\schscale]{inv4.sch.bw.eps}
  }
  \caption{Spänning och ström över induktorer och kondensatorer}
  \label{inv4}
\end{figure}

För att se att kondensatorer och induktorer kan användas som
energilager tar vi kretsarna i figur \ref{inv4}.
Låt de från början vara tomma, dvs. $u_C = 0$ ($q = Cu_C = 0$)
och $i_L = 0$ ($\phi = L i_L = 0$).
Vi vill nu ladda upp dem till slutspänningen $U_C$
resp. -strömmen $I_L$.
När vi nu ansluter den konstanta strömmen ($I_{in}$) resp. spänningen
($U_{in}$) genom att vrida över strömbrytaren $S$ till steg \textbf{A},
laddas resp. komponent upp så att $u_C(t) = I_{in}t/C$ resp. $i_L(t) = U_{in}t/L$
efter tiden $t$.
Den tid det då tar för att nå en viss laddningsnivå är då $T_C(U_C) = C U_C / I_{in}$ resp. $T_L(I_L) = L I_L / U_{in}$

Som vi såg i tabellen med begrepp mm. ovan, är effekt energi per
tidsenhet ($P = E/t$, eller $E = P t$) och spänning är effekt per
strömsenhet ($U = P/I$, eller $P = U I$),
får vi att den tillförda energin är $E = U I t$ eller mer korrekt
$E = \int u(t) i(t) \ud t$, eftersom $i_C$ och $u_L$ varierar med tiden.

För kondensatorn använder vi då att $u(t) = u_C(t)$ och $i(t) = I_{in}$ i
formeln ovan och får 
$E = \int u(t) i(t) \ud t = \int u_C(t) I_{in} \ud t $.
Vi såg ovan att $u_C(t) = I_{in}t/C$, det använder vi nu genast och
kommer ett steg längre på vägen och med lite ommöblering blir det
$E = \int u_C(t) I_{in} \ud t = \int (I_{in}t/C) I_{in} \ud t = \int (I_{in}^2/C) t \ud t$.
Inom parentesen är allt konstant, så det kan vi plocka ut det utanför
integralen på detta sättet:
$E = \int (I_{in}^2/C) t \ud t = (I_{in}^2/C) \int t \ud t$.
Enligt formeltabellen är $\int t \ud t = t^2/2$.
Det kan vi också se genom att tänka oss en kurva eller linje som lutar
45\textdegree och att den bildar en triangel mot $t$-axeln.
Då är det lätt att se att dess yta är en halv kvadrat.
Vi har nu $E = (I_{in}^2/C) T_C^2/2$ och då är det lämpligt att använda
de vi kom fram till ovan $T_C = U_C C / I_{in}$, och får efter att vi
sorterat upp täljare och nämnare
$
E = (I_{in}^2/C) T_C^2/2 = (I_{in}^2/C) (U_C C / I_{in})^2/2 = (I_{in}^2 U_C^2 C^2) /
(2 C I_{in}^2) = U_C^2 C/2
$.
Dvs. den lagrade energin beror på slutspänningen över
kondensatorn och dess kapacitans.

På samma sätt (men lite mer kortfattat) fås att induktorns lagrade
energi är:

\noindent
\begin{align*}
E &= \int u(t) i(t) \ud t =
     \int U_{in} i_L(t) \ud t =
     \int U_{in} (U_{in}t/L) \ud t =
     U_{in}^2/L \int t \ud t\\
 &=  (U_{in}^2/L) T_L^2/2 =
     (U_{in}^2/L) (I_L L / U_{in})^2/2 =
     (U_{in}^2 I_L^2 L^2) / (2 L U_{in}^2) =
     I_L^2 L/2\\
\end{align*}

I verkligheten blir värdet lite mindre, t.ex. försvinner en liten del
energi bort på grund av kondensatorns resp induktorns. interna motstånd.

Om vi nu istället vrider över $S$ till steg \textbf{B} och låter
resp. $Z$ vara ett motstånd $R$ som vi varierar så att i
kondensatorfallet, den utgående strömmen är konstant och i
induktorfallet att spänningen är konstant.
Då får vi samma resultat som ovan, med den skillnaden att den i
komponenten lagrade energin minskar istället för att öka och att
energin avges som värme i resp. motstånd $R$.

Vi kan istället för att justera $R$ hålla det konstant och räkna på
det istället.
Följande resonemang kan kännas lite kompakt, men poängen är att vi får
samma ekvation för energin som ovan.
Sätt $t = 0$ då $S$ slås över till steg \textbf{B}.
Från början är då, i induktorfallet, strömmen $i_L(0)$ toppvärdet $I_L$.
När strömmen från induktorn flyter genom $R$ får vi en
motspänning $u_R(t) = R i_R(t) = R i_L(t)$.
Den motspänningen får strömmen att minska med
$di_L(t)/\ud t = - u_R(t)/L = - R i_L(t)/L$ och det ger
ekvationen $\ud i/\ud t + (R/L) i = 0,\; i_L(0) = I_L$.
Lyckligtvis har någon redan löst den, och lösningen är 
$i_L(t) = I_L e^{-(R/L)t}$.
Vid tiden $t = 0$ blir $i_L(0) = I_L e^{-(R/L) \cdot 0} = I_L$,
och precis som $e^{-x}$ minskar för växande $x$ och kommer strömmen
att succesivt minska, så när vi integrerar måste vi integrera
i all evighet, eller $\infty$ som matematikerna säger.

Energin över $R$ blir då\\
\eqnline{E}{=}{\int_0^\infty i_R(t) u_R(t) \ud t}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\int_0^\infty R i_L^2(t) \ud t}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{R I_L^2 \int_0^\infty e^{-2(R/L)t} \ud t}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{R I_L^2 (- e^{-2(R/L)t}/(2R/L))\big|_0^\infty}{}\\[2ex]
\eqnline{}{=}{(I_L^2L/2) (- e^{-2(R/L)t})\big|_0^\infty}{}\\[2ex]
\eqnline{}{=}{(I_L^2L/2) (1 - 0)}{}\\[2ex]
\eqnline{}{=}{I_L^2 L / 2}{}\\[1ex]

Dvs. vi får samma resultat för energin som när vi varierade
motståndet.
Man får liknande resultat för en kondensator.\\
%
\eqnline{i_C(t)}{=}{- i_R(t)}{}\\[1ex]
\eqnline{u_C(t)}{=}{u_R(t) = R i_R(t) = - R i_C(t)}{}\\[1ex]
\eqnline{\frac{\ud u_C(t)}{\ud t}}{=}{\frac{1}{C} \frac{\ud q(t)}{\ud t}}{}\\[1ex]
\eqnline{\frac{i_C(t)}{C}}{=}{-\frac{u_C(t)}{RC}}{}\\[1ex]
\eqnline{u_C(0)}{=}{U_C}{}\\[1ex]
\eqnline{u_C(t)}{=}{U_C e^{-t/(RC)}}{}\\[1ex]
\eqnline{E}{=}{\int_0^\infty i_R(t) u_R(t) \ud t}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\int_0^\infty \frac{u_C^2(t)}{R} \ud t}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\frac{U_C^2}{R} \int_0^\infty e^{-2t/(RC)} \ud t}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\frac{U_C^2}{R} (- e^{-2t/(RC)}/(2/(RC)))\big|_0^\infty}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\frac{U_C^2 C}{2} (- e^{-2t/(RC)})\big|_0^\infty}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\frac{U_C^2 C}{2} (1-0)}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\frac{U_C^2 C}{2}}{}\\

Som en liten betraktelse kan vi notera att i figur \ref{inv4}A ökar
spänningen $u_C$ linjärt från noll till ett maximum $U_C$ när $S$ är i
steg \textbf{A}, samtidigt som strömmen $i_C$ är positiv och konstant.
I steg \textbf{B} minskar $u_C$ från $U_C$ ner till noll och strömmen $i_C$
har vänt riktning och är därför negativ.

I figur \ref{inv4}B, hålls spänning $u_L$ i steg \textbf{A} konstant och
strömmen $i_L$ ökar från noll till ett maximum $I_L$.
I steg \textbf{B} fortsätter strömmen att flöda åt samma håll, men den
minskar från toppvärdet ner till noll.
Men eftersom nu strömmen flödar genom $R$ underifrån kommer spänningen
över $R$ vara negativ, så ock spänningen $u_L$.

Så i \ref{inv4}A går spänningen upp till max och ner till noll och
strömmen byter riktning men är konstant i resp. arbetssteg.
Och i \ref{inv4}B går strömmen upp till max och ner till noll och
spänningen byter riktning men är konstant i resp. steg.

En kondensator är spänningströg o. vänder på strömmen
och en induktor är strömtrög o. vänder på spänningen.

\subsection{Resonator}

Kraftcellen i figur \ref{inv2} (samma krets är
återgiven i figur \ref{inv5}A) består av två energilager,
en induktor och en kondensator och om man kopplar ihop dem som i figur
\ref{inv5}B bildar de en resonator.
En resonator är någonting som kan självsvänga,
speciellt om man stimulerar den med en frekvens inom dess
bandbredd, t.ex. brus från en kraftkälla.

\begin{figure}[ht]
  \psfragABC
  \psfrag{UG}[Bl]{$U_{in}$}
  \psfrag{SS}[Bc]{$S$}
  \psfrag{CC}[Bl]{$C$}
  \psfrag{LL}[Bl]{$L$}
  \psfrag{ZZ}[Bl]{$Z$}
  \psfrag{AA}[Bc]{\textsf{A}}
  \psfrag{BB}[Bc]{\textsf{B}}
  \centerline{%
    \includegraphics[scale=\schscale]{inv5.sch.bw.eps}
  }
  \caption{Resonator}
  \label{inv5}
\end{figure}

Det är en $LCR$ oscillator (där $L$ o. $C$ tillsammans har ungefär
samma funktion som orot i en mekanisk klocka).
Några parametrar (summariskt återgivet) för den är återgivna nedan.
Ju högre godhetstal, desto smalare och högre resonastopp,
($\alpha$ är ``alfa'', $\zeta$ är ``zeta'', dvs. a och z på grekiska)
det kan vara bra att känna till nedanstående begrepp.

\begin{IEEEeqnarray*}{rCl"s}
  f_0      & = & \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}             & resonansfrekvens\\
  \alpha_0 & = & \frac{1}{2RC}                       & dämpning\\
  \zeta    & = & \frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}      & dämpningsfaktor\\
  B_f      & = & \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}       & bandbredd\\
  Q        & = & \frac{1}{B_f} = R\sqrt{\frac{C}{L}} & godhetstal, Q-värde, Q-faktor\\
\end{IEEEeqnarray*}

\subsection{Approximationer}

Vi såg tidigare i konstruktionen i figur \ref{inv4} att\\[0.5ex]
%
\eqnline{i_L(t)}{=}{I_L e^{-(R/L)t}}{}\\[1ex]
\eqnline{u_C(t)}{=}{U_C e^{-t/(RC)}}{}\\[1ex]
%
Båda dessa har formen\\
%
\eqnline{y(t)}{=}{y(0) e^{-\frac{t}{\tau}}}{}\\[1ex]
%
där $\tau = L/R$ resp. $\tau = RC$ (grekiska bokstaven för lilla t, uttalas tau) kallas för ``tidskonstanten''.
När $t = \tau$ är $y(t) \approx 0.37 y(0)$.
Anledningen till att den kallas för tidskonstanten är att om tar
en rät linje med samma lutning som kurvan har vid tiden noll,
så skär den tidsaxeln vit tiden $t = \tau$, som i övre kurvan i figur \ref{tau}.
Kolumnen ``fel2'' är felet som uppstår om man använder
den undre kurvan istället.

\begin{figure}[ht]
%  \hfill
  \qquad
  \parbox[t]{50mm}{
    \small
    \input{tikz_exp}\\
    \input{tikz_nexp}
  }
  \qquad
  \parbox[c]{50mm}{
    \begin{tabular}[t]{lllrr}
      $t/\tau$ & $e^{-t/\tau}$ & $1 - t/\tau$ & \% fel & \% fel2\\
      \hline\\[-2ex]
      0,00 & 1,00 & 1,00 &  0,00 &  0,00 \\
      0,10 & 0,90 & 0,90 &  0,53 &  5,08 \\
      0,20 & 0,82 & 0,80 &  2,29 & 10,33 \\
      0,30 & 0,74 & 0,70 &  5,51 & 15,75 \\
      0,40 & 0,67 & 0,60 & 10,49 & 21,33 \\
      0,50 & 0,61 & 0,50 & 17,56 & 27,07 \\
      0,60 & 0,55 & 0,40 & 27,12 & 32,98 \\
      0,80 & 0,45 & 0,20 & 55,49 & 45,28 \\
      1,00 & 0,37 & 0,00 & 100,00 & 58,20 \\
    \end{tabular}
  }
  \hfill
  \caption{Tidskonstanten}
  \label{tau}
\end{figure}

De flesta elektrolytkondensatorer har en tolerans på \textpm 10--30\%,
keramiska X7R \textpm 15\% och induktorer \textpm 10--30\%.
Därför finns det ingen anledning att räkna med exakta formler, det
räcker att de värden man räknar fram för induktorer och kondensatoer
stämmer med \textpm 10--20\%.
Så, om man gör ett kraftaggregat på 12V, 1A (vilket ger en
lastresistans på 12\ohm) och man behöver en kondensator på 100\textmu
F, $T_s$ är t.ex. $10\mu s$ ($100kHz$, vilket är lite långsamt) blir
tidskonstanten $RC = 120\mu s$.
Det gör att $t/\tau = t/(RC) < 10\mu s/ 120\mu s < 0.1$, dvs. felet
man gör att genom att räkna med förenklade formler är mindre än 1\%
i detta fall.

\subsection{Stabil arbetscykel}

Om vi regelbundet växlar $S$ mellan arbetsstegen
\textbf{A} $\rightarrow$ \textbf{B} (och ev.  $\rightarrow$ \textbf{C})
och så tillbaka till \textbf{A} osv.,
så har vi ett händelseförlopp som upprepar sig, en arbetscykel.
När vi gör så och alla värden (i vårt fall ström, spänning, energi,
mm.) är densamma när cykeln/förloppet börjar som när den/det slutar,
då är den oföränderlig i det stora hela (mellan cyklerna)
även om det kan ske stora ändringar i det lilla (inom en cykel).
Allting behöver inte vara oföränderligt, då vore det ingen mening med
det hela, t.ex. en bensinmotor förbrukar bensin och får en bil att
flytta på sig, men själva arbetsprocessen motorn använder är
oföränderlig.
Eftersom oföränderlig är så långt ord kan det vara lämpligt att använda ordet
``stabil'' istället.

För en spänningsomvandlare vill vi givetvis att energi ska flyttas
från den ena sidan till den andra, dvs. att ström ska flyta och
laddningar (elektroner) ska vandra.
Men samtidigt vill vi att in- och ut spänningen ska vara oföränderliga,
att i omvandlaren lagrad energi inte ska öka eller minska,
dvs. i stort sett vara konstant.

Så, om vi tittar på den i komponenten lagrade energin och vill att den
ska vara konstant mellan cyklerna (men inte nödvändigtvis inom
cykeln), då har vi att energin vid början av cykel nr. a ska vara lika
med energin vid början av vilken cykel som helst, t.ex. nr. b,
dvs.  $E_a = E_b$.
(Pilen i $A \Rightarrow B$ betyder att om $A$ gäller så gäller också
$B$, men inte nödvändigtvis tvärtom.
Pilen i $A \Leftrightarrow B$ betyder att både $A$ och $B$ gäller
eller så gäller ingen av dem.
)

 För en kondensator:
\begin{equation*}
  U_a^2 C/2 = E_a = E_b = U_b^2 C/2 \Longleftarrow
  U_a = U_b \Longleftrightarrow
  Q_a = CU_a = CU_b = Q_b
\end{equation*}
så räcker det att visa att spänningen (antalet volt) över kondensatorn
eller dess laddning (antalet amperesekunder) är oförändrad så har
den samma energiinnehåll.
Energin är också samma om spänningen bytt tecken, som om man vänt
uppochner på kondensatorn,
men då har vi inte samma tillstånd före som efter.
Eftersom laddning är ström som summerats över tid, eller\\
\eqnlineB{Q}{=}{\int i dt}\\
%
så innebär $Q_b - Q_a = 0$ att\\
\eqnlineB{0 = Q_b - Q_a}{=}{\int_a^b i(t) dt}\\[1ex]
och om vi tänker tillbaka till stycket om medelvärde, så ser vi att\\[1ex]
\eqnlineB{\langle i(t) \rangle}{=}{\frac{\int_a^b i(t) dt}{b-a} = 0}\\
dvs. att strömmens medelvärde är noll över en cykel innebär att vi har 
en stabil arbetscykel (för en kondensator).

På liknade sätt för en induktor:
\begin{equation*}
  I_a^2 L/2 = E_a = E_b = I_b^2 L/2 \Longleftarrow
  I_a = I_b \Longleftrightarrow
  \Phi_a = L I_a = L I_b = \Phi_b \Longleftrightarrow
  \langle u \rangle = 0
\end{equation*}
så räcker det att visa att
 strömmen (antalet ampere) genom induktorn eller
 dess magnetiska flöde (antalet voltsekunder) är oförändrad
 cykel till cykel
eller att medelvärdet av spänningen över indukorn är noll,
 så har
den samma energiinnehåll.
Energin är också samma om strömmen bytt tecken, som om man vänt
uppochner på induktorn,
men vi ville ju också att den ska vara samma från cykel till cykel.

Att $Q$ resp. $\Phi$ inte ändras från cykel till cykel innebär (som vi såg ovan) att
integralerna $\langle i \rangle = \Delta q = \int i(t)\ud t = 0$ resp.
$\langle u \rangle = \Delta \phi = \int u(t)\ud t = 0$ över en cykel,
dvs. kurvorna $i(t)$ resp. $u(t)$ sveper över lika mycket yta under
som över tidsaxeln, ungefär som i figur \ref{IVt}C.
Vi kallar det för laddnings- resp. voltsekundsjämvikt.

\newpage
\section{Kraftceller}

I figur \ref{pwrc} visas de tre grundläggande kraftcellskopplingarna,
de är uppbyggda av en induktor $L$ och en brytare $S$.
Anslutet till vänster om resp. kraftcell
finns spänningskällan $U_{in}$
med sitt interna motstånd $R_{k}$
 och kondensatorn $C_{in}$,
och till höger kondensatorn $C_{ut}$ och lasten $Z$
som vi försöker upprätthålla spänningen $U_{ut}$ över.
Så vad vi har är Kraftkällan + K1, K2 alternativt K3 + Last.
Vad figuren försöker visa är att vi tar en av kraftcellerna (de andra två utgår då)
och ansluter den till kraftkällan och lasten.

\begin{figure}[ht]
  \psfragABC
  \psfrag{SS}[Bc]{$S$}
  \psfrag{L}[Bc]{$L$}
  \psfrag{X0}[Bc]{Kraftkälla}
  \psfrag{X1}[Bc]{$U_{ut} > U_{in}$}
  \psfrag{X}[Bc]{$U_{ut} < U_{in}$}
  \psfrag{X3}[Bc]{$U_{ut} < 0$}
  \psfrag{X4}[Bc]{Last}
  \psfrag{IG}[Bl]{$i_{in}$}
  \psfrag{IH}[Bl]{$i_{L_{in}}$}
  \psfrag{IA}[Bl]{$i_{C_{in}}$}
  \psfrag{ID}[Bl]{$i_{C_{ut}}$}
  \psfrag{IZ}[Bl]{$i_{ut}$}
  \psfrag{IY}[Bl]{$i_{L_{ut}}$}
  \psfrag{UG}[Bl]{$U_{in}$}
  \psfrag{RG}[Bl]{$R_{k}$}
  \psfrag{CA}[Bl]{$C_{in}$}
  \psfrag{CB}[Bl]{$C_{ut}$}
  \psfrag{ZZ}[Bl]{$Z$}
  \psfrag{IL}[Bl]{$i_L$}
  \psfrag{UL}[Br]{$u_L$}
  \centerline{%
    \includegraphics[scale=\schscale]{power_cells.sch.bw.eps}
  }
  \caption{Alternativa kraftceller}
  \label{pwrc}
\end{figure}

K1 är en spänningshöjande cell, K2 spänningssänkande och K3 vänder på
spänningen, dvs. levererar negativ utspänning vid positiv inspänning.

Om man vill kan man tänka sig att K1 och K2 är varandras spegelbilder.
Man även tänka sig att om man roterar K1 stegvis medurs får man först
K2, sedan K3 och sedan K1 igen osv.
Normalt kommer kraften in från vänster, omformas av kraftcellen och
kommer ut till höger, men man kan i princip köra kraftcellen baklänges.

För att förenkla för oss låter vi $U_{in}$ vara positiv.
Inspänningen kan givetvis vara negativ istället,
 men det vanligaste är den är positiv.

\subsection{Funktion i stort}

En arbetscykel består av stegen $L$ laddas upp, $L$ laddas ur och ev. $L$ är tom.
Det enda som kan ladda upp $L$ är vår kraftkälla $U_{in}$ och
det som laddar ur $L$ är lasten $Z$.
För K1 måste då urladdningssteget ske då $S$ står horisontellt (uppmärkt med \textbf{B})
eftersom det är den enda positionen då $Z$ är ansluten,
och för K2 och K3 är kraftkällan bara ansluten till $L$ då $S$
står horisontellt resp. till vänster (uppmärkta med \textbf{A});
så uppladdning är \textbf{A}, urladdning \textbf{B}
och \textbf{C} är då $L$ är tom.
Om vi väljer riktning på $u_L$ och $i_L$ som i figuren,
blir $u_L$ positiv och $i_L$ ökar under uppladdning.
Dvs. arbetsstegen är (se \fig{LvlStp}):

\begin{enumerate}
\item[\textbf{A}] $L$ laddas upp, $u_L > 0$ och $i_L$ ökar
\item[\textbf{B}] $L$ laddas ur, $u_L < 0$ och $i_L$ minskar
\item[\textbf{C}] $L$ är tom, $u_L = 0$ och $i_L = 0$
\end{enumerate}
och energin flyttas alteftersom:
$ U_{in} \rightarrow C_{in} \rightarrow L \rightarrow C_{ut} \rightarrow Z $.
%
Principen om energins bevarande ger:\\[1ex]
\eqnlineB{U_{in} I_{in}}{=}{U_{ut} I_{ut} + E_f}\\[1ex]
där $E_f$ anger de förluster i omvandlingen vi har.
Eftersom vi bara gör en teoretisk konstruktion med ideala komponenter är $E_f = 0$.

Det som styr kraftcellen är vanligtvis någon sorts regulator.
Den har som funktion att se till att utspänning och -ström håller sig
inom de marginaler som är satta.
Normalt styr den kraftcellen
genom att bestämma hur lång tid som $S$ står i \textbf{A}.
Om och när $S$ går över till \textbf{C} bestäms av om och när $i_L$ blir noll.
Och till sist, när $S$ slår tillbaka över till \textbf{A} bestäms av cykeltiden $T_s$.

\subsection{Uppstart}

\subsubsection{K1}

Vid uppstart av K1 är $U_{ut}$ noll så oberoende om $S$ står
i \textbf{A} eller \textbf{B},
så laddas $L$ upp,
det vill säga, den pålagda spänningen gör att $i_L$ kommer att öka från noll
till allt större positiva värden.
När $i_L$ ökar så kommer också $i_{ut}$ att öka och därmed spänningen över $Z$,
men så länge utspänningen är mindre än inspänningen kommer det alltid att vara en positiv spänning
över $L$ och dess ström kommer att öka och eftersom $i_L$ alltid är större än noll i detta fall
används inte steg \textbf{C}.
Vi kan se det genom att i steg \textbf{B} är $U_{in} = u_L + u_{ut}$
vilket är detsamma som $u_L = U_{in} - u_{ut}$,
och så länge $u_{ut} < U_{in}$ kommer $u_L > 0$.
Så, för att komma upp i den stabila arbetscykeln, måste $i_L$ kunna sjunka ner till utgångsvärdet,
det värdet som var i början av cykeln.
Och för att $i_L$ ska minska måste $u_L < 0$, och då måste $U_{in} < u_{ut}$.
Alltså, utspänningen måste vara större än inspänningen så länge
kraftcellen är i stabil drift.

\subsubsection{K2}

Till skillnad från K1 så ökar inte utspänningnen i arbetssteget \textbf{B}
utan den spänning som $L$ ser i \textbf{B} är negativ så fort $i_L > 0$
vilket tvingar ner $i_L$.
Det enda steget där utspänningen kan öka är \textbf{A} och om $S$ 
permanent skulle stå i \textbf{A} så blir utspänningen $U_{in}$.
Dvs. för kraftcell K2, är utspänningen som mest lika stor som inspänningen.

\subsubsection{K3}

För kraftcell K3 ser vi att $u_L = u_{ut}$ i arbetssteg \textbf{B},
samtidigt är $i_{ut} = - i_L$.
Så eftersom $i_L$ är positiv så blir utströmmen negativ och är utströmmen
negativ blir utspänningen också negativ.

\subsection{Driftsnivåer}

Det finns två driftsnivåer,
 ett där strömmen bara flyter en del av tiden,
 och ett där det flyter en ström genom induktorn hela tiden,
 dvs. om induktorn arbetar del- eller heltid.
Men det kan vara praktiskt att införa ett tredje som är gränsen mellan dessa två nivåer.
Låt oss kalla dem del-, gräns- och helsdriftsnivåer.
I figur \ref{LvlStp} finns exempel på dessa nivåer.

I deldriftsnivån är $T_2 < T_s$, vilket innebär att $\min i_L = 0$.
I heldriftsnivån är $i_L > 0$, vilket innebär att $T_2 = T_s$.
Gränsen mellan dessa två nivåer är när
 $\min i_L = 0$ och
 $T_2 = T_s$,
så vid gränsdrift gåller att $1 = T_s/T_s = T_2/T_s = T_1/T_s + (T_2 - T_1)/T_s$.

Om vi låter ``$\DGH$'' resp. ``$\dgh$'' betyda ``$<$'' resp. ``$>$'' vid deldrift och ``$=$'' vid gräns- och heldrift,
så kan vi skriva ``$x \DGH y$'' och det betyder att $x$ är mindre än $y$ vid deldrift och lika med
$y$ i övrigt.

\subsection{Praktiska mått}

\subsubsection{Tider}

Eftersom kraftcellerna är taktstyrda med en cykeltid på $T_s$ är det praktiskt att
införa beteckningar för när $S$ stegar fram.
Låt oss då säga att
$S$ går till steg \textbf{A} vid tiden $t = T_0 = 0$, slås över i \textbf{B} vid tiden
$t = T_1$ för att åter gå över i \textbf{A} vid tiden $t = T_s$ och därmed
avsluta en arbetscykel för att börja en ny.
Det kan ev. finnas ett arbetsteg \textbf{C} också,
med en tidpunkt $t = T_2$ mellan $T_1$ och $T_s$ som är tiden då
strömmen genom $L$ går ner till noll eller tillräckligt nära noll för
att kunna bortses ifrån.
Vi betraktar då $i_L$ (strömmen genom induktorn) som noll mellan $T_2$ och $T_s$.
%
$T_1 $ skulle givetvis kunna vara noll och $T_2 = T_1$,
men de fallen är inte så intressanta eftersom vi då
inte skulle ha någon energiöverföring.
Dessutom är det praktiskt om inget av $T$-na kan vara noll för då kan
vi dividera med dem när vi löser ekvationer.
Vi har:\\[1ex]
\eqnlineB{0 < T_1}{<}{T_2 \DGH T_s}\\[1ex]
%
Det är också praktiskt att beteckna hur stor del de olika stegen tar upp
av en arbetscykel:\\[1ex]
\eqnline{0 < P_A = \frac{T_1}{T_s} < 1\ }{\ }{\ 0< P_B = \frac{T_2 - T_1}{T_s} < 1}{}\\[1ex]
%
och hur stor del av en cykel in- resp. utgången är kopplad till induktorn:\\[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{P_{in}}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{P_A+P_B}$\hfill }för K1}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{P_A}$\hfill }för K2}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{P_A}$\hfill }för K3}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{P_{ut}}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{P_B}$\hfill }för K1}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{P_B+P_A}$\hfill }för K2}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{P_B}$\hfill }för K3}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]
%
$P_{in}$ kan också skrivas som $P_{in} = P_A + k_B P_B$ där:\\[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{k_B}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{1}$\hfill }för K1}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{0}$\hfill }för K2}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{0}$\hfill }för K3}
\end{array}
\right.$}\\%[1ex]
%
Dito $P_{ut} = P_B + k_A P_A$:\\%[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{k_A}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{0}$\hfill }för K1}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{1}$\hfill }för K2}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{0}$\hfill }för K3}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]

\subsubsection{Spänningar}

$U_A$ låter vi vara den spänning som verkar över $L$ i \textbf{A},
dito $U_B$ i \textbf{B}:\\[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{u_L}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{U_A > 0}$\hfill }för \textbf{A}}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{U_B < 0}$\hfill }för \textbf{B}}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{0}$\hfill }för \textbf{C}}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]
%
Vi har valt att $U_{in}$ ska vara positiv och då blir också $U_A$ positiv.
$U_A$ är den spänning som verkar på induktorn och laddar upp den och
$U_B$ är den spänning som verkar på induktorn och laddar ur den.
Eftersom $U_A$ är positiv måste $U_B$ vara negativ,
det är för att induktorn ska kunna laddas ur
och konstruktionen måste vara gjord så att det villkoret uppfylls.\\[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{U_A}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{U_{in}}$\hfill }för K1}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{U_{in} - U_{ut}}$\hfill }för K2}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{U_{in}}$\hfill }för K3}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{U_B}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{U_{in} - U_{ut}}$\hfill }för K1}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{- U_{ut}}$\hfill }för K2}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{U_{ut}}$\hfill }för K3}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]
%
Eftersom vi förutsätter att $U_{in} \neq 0$, $U_{ut} \neq 0$ och $U_{ut} \neq U_{in}$
(annars har vi ingen kraftomvandling),
 så är också $U_A$ och $U_B$ skilda från noll.

\subsubsection{Strömmar}

För att beräkna in- och utströmmar använder vi formlerna
$I_{in} = i_{C_{in}} + i_{L_{in}}$ för ingången och
$i_{L_{ut}} = I_{ut} + i_{C_{ut}}$
 för utgången utom för K3 där
$- i_{L_{ut}} = I_{ut} + i_{C_{ut}}$.
Så för att få samma formel även för K3 använder vi istället
$k_t i_{L_{ut}} = I_{ut} + i_{C_ut}$ där\\[0.5ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{k_t}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{+1}$\hfill }för K1}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{+1}$\hfill }för K2}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{-1}$\hfill }för K3}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]
Eftersom $k_t$ bara kan anta plus eller minus ett är $k_t^2 = 1$ och
$k_t = 1/k_t$.
%
\subsubsection{Annat}

Vi kan ha nytta, som vi ska se framöver, av att införa:\\[1ex]
\eqnline{I_A = \frac{U_A}{L}T_s\ }{\ }{\ I_B = \frac{U_B}{L}T_s}{}\\[1ex]
\eqnline{I_M }{=}{\frac{\max i_L + \min i_L}{2}}{}\\[1ex]
\eqnlineB{M_L}{=}{\frac{-U_B}{U_A}}\\[1ex]

\subsubsection{Konstanter}

När vi ska undersöka vad som beror på vad väljer vi två variabler, håller allting
annat som inte beror på dessa variabler konstant, och försöker sedan hitta samband
mellan dessa två variabler.
I denna text betraktar vi för det mesta $U_{in}$, $U_{ut}$, $U_A$, $U_B$, $T_s$, $f_s$, $M$,
$M_L$ som konstanter.

\subsection{Vad vill vi få reda på}

När vi undersöker kraftcellerna i figur \ref{pwrc} vill vi se vilka strömmar genom och spänningar över
komponenterna som antas för olika värden på
$U_{in}$, $U_{ut}$, $I_{ut}$, $f_s = 1/T_s$, $C_{in}$, $C_{ut}$ och $L$.
För att styra kraftcellen vi veta hur $M$ beror på $P_A$
 eftersom $P_A$ är det vi styr den med.
Men här vi är mest intresserade av hur vi ska dimensionera $L$, $C_{in}$ och $C_{ut}$.
För dens skull vill vi beräkna:

\begin{enumerate}
\item $I_{gr}$, den utström som får kraftcellen att arbeta på gränsnivån
\item $L_{gr}$, den induktans, för given utström, som får kraftcellen att arbeta på gränsnivån
\item $i_{Lpp}$, variationen i ström genom induktorn
\item variationen av spänning över kondensatorerna, speciellt den på utgången
\end{enumerate}
%
I litteraturen söker man ofta lösning på:\\[1ex]
\eqnlineB{M}{=}{\frac{U_{ut}}{U_{in}}}\\[1ex]  %  = \frac{I_{in}}{I_{ut}}
som en funktion av $P_A$.

\subsection{Funktion i det lilla}

Vi har som vi sett ovan, tre olika kraftceller, tre driftsnivåer och tre arbetssteg.
det blir en massa kombinationer\dots

Det som skiljer mellan kraftcellerna är de olika värdena för $U_A$, $U_B$, $P_{in}$ och $P_{ut}$.
Det som sklijer mellan driftsnivåerna är om $\min i_L = 0$  eller ej
och om $T_2 < T_s$ eller ej.
Det som skiljer mellan arbetstegen är om $L$ laddas upp, ur eller är i vila.
Så låt oss avakta med skillnaden mellan kraftcellerna och se vilka gemensamma drag
vi kan hitta.

\begin{figure}[ht]
\input{tikz_LevelStep}
  \caption{Driftsnivår och arbetssteg}
  \label{LvlStp}
\end{figure}

Som vi kan se i figur \ref{LvlStp},
har vi tre kolumner, en för resp. driftsnivå.
I spänningsdiagramet för deldrift (det övre vänstra) är
arbetsstegen \textbf{A}, \textbf{B} och \textbf{C} inritade längs tidsaxeln,
dessutom är voltsekundformlerna ($U_AT_s$ och $U_B (T_2 - T_1)$) angivna.
I alla kurvorna i denna figur är \textbf{A}-steget markerat med ljusgrått och \textbf{B}-steget med mörkgrått.

Eftersom voltsekunderna summerar till noll i en stabil cykel
blir också strömstyrkan densamma ($\min i_L$) före som efter arbetscykeln.

I den övre raden med spänningsdiagram, ser vi att $U_A > $ resp. $U_B < 0$ är lika stora
för alla driftsnivåer, den enda skillnaden är att de får verka längre tid i gräns- och heldrift.
Det innebär att skillnaden mellan minsta och största strömstyrkan är mindre i deldriftsfallet.
Vi ser också att i strömdiagrammet för gränsdrift
är $I_A$ och $-I_B$ inritade och att de är förlängningen av resp. del av strömkurvan.
Skillnaden mellan gräns- och heldrift är att i heldrift ligger strömkurvan
högre upp, men i övrigt är de lika.

Om vi nu ska titta närmare på detta kan vi observera att $U_{in}$ och $U_{ut}$ är konstanta,
$U_{in}$ därför vi valt en utopiskt konstant kraftkälla (vi har gjort det lätt för oss) som
vi visserligen försämrat genom att förse den med ett internt motstånd
 (annars skulle vi inte behöva $C_{in}$)
och $U_{ut}$ därför att det är det vi vill ha,
och det är vårt jobb som konstruktörer att se att det också blir så.
När in- och utspänningarna är konstanta så är $U_A$ och $U_B$ det också.
Och eftersom $U_A$ är konstant, blir strömökningen i steg \textbf{A} konstant, dito
$U_B$ och strömsäkningen i steg \textbf{B}.
Därför är lutningen på strömkurvorna lika i alla tre driftsnivårna.

För att studera detta behöver vi ta fram formlerna för strömmen i resp. arbetssteg:\\[1ex]
%
\eqnline{i_L(t)}{=}{\min i_L + \frac{U_A}{L} t = \min i_L + I_A \frac{t}{T_s}}{\text{\textbf{A}, } 0 \geq t \geq T_1}\\[1ex]
\eqnline{i_L(t)}{=}{\max i_L + \frac{U_B}{L} (t - T_1) = \max i_L + I_B \frac{t - T_1}{T_s}}%
 {\text{\textbf{B}, } T_1 \geq t \geq T_2}\\[1ex]
\eqnline{i_L(t)}{=}{0}{\text{\textbf{C}, } T_2 \leq t \leq T_s}\\[-0.5ex]
dvs.
%
\[
  i_L(0) = i_L(T_2) = i_L(T_s) = \min i_L \leq i_L(t) \leq i_L(T_1) = \max i_L
\]
%
I del- och gränsdrift är $\min i_L = 0$.

\noindent
För att hitta strömökningen undersöker vi strömmens värde 
vid $T_1$ och $T_2$\\[1ex]
\eqnline{i_L(T_1) = \max i_L}{=}{\min i_L + T_1 U_A/L}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\min i_L + T_1/T_s \;\cdot\; U_AT_s/L}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\min i_L + P_A I_A}{}\\[1ex]
%
\eqnline{i_L(T_2) = i_L(0) = \min i_L}{=}{\max i_L + (T_2 - T_1) U_B/L}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\max i_L + (T_2 - T_1)/T_s \;\cdot\; U_B T_s/L}{}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\max i_L + P_B I_B}{}\\[1ex]
%
Från dessa ovanstående två ekvationer kan vi få fram induktorströmmens
variation ($i_{Lpp}$):\\[1ex]
%
\eqnlineB{i_{Lpp} = \max i_L - \min i_L}{=}{
  \frac{U_A T_1}{L} = \frac{T_1}{T_s} \frac{U_A}{L} T_s = P_A \frac{U_A}{L} T_s = P_A I_A < I_A
  }\\[1ex]
\eqnlineB{i_{Lpp} = \max i_L - \min i_L}{=}{
  \frac{-U_B (T_2 - T_1)}{L} = \frac{T_2 - T_1}{T_s} \frac{-U_B}{L} T_s = P_B \frac{-U_B}{L} T_s = - P_B I_B < -I_B
  }\\[1ex]
$I_A$ och $I_B$ sätter alltså en gräns på hur stor strömändringen som kan ske under en cykel och
hur snabbt vår kontruktion kan reagera på förändringar.
Det är det värde vi får om $P_A$ resp. $P_B$ vore 1 ---
som om $S$ vore ställd i position \textbf{A} resp. \textbf{B} under en
hel arbetscykel.
%
Ekvationerna sammantaget ger oss att:\\[1ex]
\eqnline{i_{Lpp} = P_A I_A = \frac{U_A}{L} T_1}{=}{- \frac{U_B}{L} (T_2 - T_1) = - P_B I_B}{}\\[1ex]
%
eller (om vi inför ett $M_L$)\\[1ex]
\eqnlineB{M_L = \frac{-U_B}{U_A} = \frac{T_1}{T_2 - T_1}}{=}{
 \frac{T_1/T_s}{(T_2 - T_1)/T_s} = \frac{P_A}{P_B} = \frac{-I_B}{I_A} > 0
}\\[1ex]
Därav följer att\\[0.5ex]
\eqnlineB{P_A U_A}{=}{- P_B U_B}\\[1.5ex]
\eqnlineB{\frac{U_A}{I_A}}{=}{\frac{U_B}{I_B}}\\[1ex]
och\\[-0.ex]
\eqnlineB{P_{in}}{=}{ P_A + k_B P_B = (M_L + k_B) P_B = \frac{M_L + k_B}{M_L} P_A }\\[1ex]
\eqnlineB{P_{ut}}{=}{P_B + k_A P_A = (1 + k_A M_L) P_B = \frac{1 + k_A M_L}{M_L} P_A }\\[1ex]
%
Vi vet att:\\[-1ex]
\eqnlineB{0 < T_1 < T_2}{\DGH}{T_s}\\[-1ex]
%
det ger\\%[1ex]
\eqnlineB{0 < T_1 + (T_2 - T_1)}{\DGH}{T_s}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < P_A + P_B}{\DGH}{1}\\%[0.5ex]
\eqnlineB{0 < P_A + P_B}{=}{M_L P_B + P_B = (1 + M_L) P_B = P_A + \frac{P_A}{M_L} = P_A \frac{1 + M_L}{M_L} \DGH 1}\\[-0.5ex]
eller\\[-0.5ex]
\eqnlineB{0 < P_B \DGH \frac{1}{1 + M_L}\ }{\ }{\ 0 < P_A \DGH \frac{M_L}{1+M_L}}\\[1ex]
%
Det betyder att $i_{Lpp}$ kan variera mellan noll och en bestämd övre gräns (som vi kan kalla $I_{LPP}$):\\[1ex]
\eqnlineB{0 < i_{Lpp}}{\DGH}{\frac{-I_B}{1+M_L} = \frac{-U_B T_s}{(1+M_L)L} = \frac{M_L U_A T_s}{(1+M_L)L} = I_{LPP}}\\[1.5ex]
och vi kan se att, i gräns- och heldrift,
 $P_A = M_L/(1+M_L)$, $P_B = 1/(1+M_L)$ och $i_{Lpp} = I_{LPP}$
är konstanta.
Vi vet också att vi har en stabil arbetscykel så
 $\langle i_{C_{in}} \rangle = \langle i_{C_{ut}} \rangle = 0$.

Under stycket om praktiska mått införde vi $I_M$.
$I_M$ är medelvärdet av induktorströmmen under tiden $0$ till $T_1$, $T_1$ till $T_2$
eller om vi så vill under hela tiden $0$ till $T_2$.
Det framgår av strömdiagrammen i figur \ref{LvlStp}.
%
Vi har också måtten $P_{in}$ och $P_{ut}$ som beskriver hur lång tid
in- resp. utgången är ansluten till induktorn.
Och vi går tillbaka till avsnittet om medelvärden så inser vi att\\[1ex]
%
\eqnlineB{I_{in}}{=}{P_{in} I_M}\\[1ex]
\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{P_{ut} I_M}\\[1ex]
eller skrivet i annan form\\[-0.5ex]
\eqnlineB{I_{in}}{=}{P_{in} I_M}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{(P_A + k_B P_B) I_M = (M_L + k_B)P_B I_M}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{ \frac{M_L + k_B}{M_L}P_A I_M = (1+ \frac{k_B}{M_L})P_A I_M}\\[1ex]
\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{P_{ut} I_M}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{(P_B + k_A P_A) I_M = (1 + k_A M_L) P_B I_M}\\[1ex]
och om vi vänder på det\\[1ex]
\eqnlineB{I_M}{=}{ \frac{ M_L}{(M_L + k_B) P_A}  I_{in}}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\frac{1}{(1 + k_A M_L) P_B}k_t I_{ut}}\\[1ex]

%\noindent
Eftersom\\
\eqnlineB{M}{=}{\frac{U_{ut}}{U_{in}} = \frac{I_{in}}{I_{ut}}}\\
är\\[-0.5ex]
\eqnlineB{M}{=}{\frac{P_{in}I_M}{k_tP_{ut}I_M} = \frac{P_{in}}{k_tP_{ut}}}\\
eller med andra ord\\[0.5ex]
\eqnlineB{k_t U_{ut} P_{ut}}{=}{U_{in} P_{in}}\\[1ex]
%
Vi är speciellt intresserade av $I_{ut}$ eftersom det är en designparameter och hur
$P_B$ beror på den:\\[1ex]
\eqnlineB{k_tI_{ut}}{=}{P_{ut} I_M = P_{ut} \frac{\min i_L + \max i_L}{2}}\\[0ex]
\eqnlineB{}{=}{P_{ut} (\min i_L + \frac{i_{Lpp}}{2})}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{(1 + k_A M_L) P_B (\min i_L + \frac{-I_B P_B}{2})}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{(1 + k_A M_L) P_B \min i_L + (1 + k_A M_L) \frac{- I_B}{2} P_B^2}\\[1ex]
%
Det kan vara bra att ha en liknande formel för inströmmen och $P_A$:\\[1ex]
\eqnlineB{I_{in}}{=}{P_{in} I_M = \frac{(M_L+k_B) P_A}{M_L}\ (\min i_L + \frac{I_AP_A}{2} )}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{(M_L+k_B) \frac{P_A}{M_L}\min i_L + (M_L+k_B) \frac{I_A}{2 M_L} P_A^2}\\[1ex]
%
Vi vet att:\\[1ex]
\eqnlineB{0 < P_B}{\DGH}{\frac{1}{1+ M_L}}\\[1ex]
%
och därav följer att:\\[1ex]
\eqnlineB{P_B^2}{\DGH}{\frac{1}{(1+ M_L)^2}}\\[1ex]
%
och i förlängningen:\\[1ex]
\eqnlineB{(1 + k_A M_L) \frac{- I_B}{2} P_B^2}{\DGH}{-I_B \frac{1 + k_A M_L}{2(1+M_L)^2}}\\[1ex]
%
 Vi kan nu definiera tre värden:\\[1ex]
\eqnlineB{0 < a}{=}{P_{ut} = (1 + k_A M_L) P_B}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < b}{=}{\frac{-I_B P_{ut} P_B}{2} = (1 + k_A M_L) \frac{- I_B}{2} P_B^2}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < B}{=}{-I_B \frac{1 + k_A M_L}{2(1+M_L)^2}}\\[1ex]
%
där $b \DGH B$, och vi kan skriva $I_{ut}$ som:\\[1ex]
\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{a \min i_L + b \DGH a \min i_L + B}\\[1ex]

\subsubsection{Deldrift}
\label{Deldrift}

I deldrift är $\min i_L = 0$ och\\[1ex]
\eqnlineB{k_tI_{ut}}{=}{b < B}\\[1ex]
%
Eftersom $0 < P_B$ kan vi lösa ut $P_B$ och få:\\[1ex]
\eqnlineB{P_B}{=}{\sqrt{ \frac{2 k_t I_{ut}}{- I_B (1 + k_A M_L)} }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ \frac{2 k_t I_{ut} L}{(-U_B) T_s (1+k_A M_L)} }}\\[1ex]
\eqnlineB{P_A}{=}{M_L P_B  = \frac{-U_B}{U_A} \sqrt{ \frac{2 k_t I_{ut}}{- I_B (1 + k_A M_L)}}
 = \sqrt{ \frac{(-U_B)^2 2 k_t I_{ut} L}{U_A^2 (-U_B) T_s (1+k_A M_L)} }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ \frac{-U_B 2 k_t I_{ut} L}{U_A^2 (1 + k_AM_L) T_s} }}\\[1ex]

För inströmmen och $P_A$ har vi också:\\[1ex]
\eqnlineB{I_{in}}{=}{(M_L+k_B) \frac{I_A}{2 M_L} P_A^2}\\[1ex]
\eqnlineB{P_A}{=}{\sqrt{\frac{2M_LI_{in}}{(M_L+k_B)I_A}}}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{\frac{2M_LI_{in}L}{U_A T_s(M_L+k_B)}}}\\[1ex]

\subsubsection{Gränsdrift}

I gränsdrift gäller $b = B$ och att $\min i_L = 0$, dvs.:\\[1ex]
\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{b = B}\\[1ex]
%
Eftersom $\min i_L = 0$ gäller samma formler för $P_A$ och $P_B$ som för deldrift,
 dessutom har vi sedan tidigare att:\\[1ex]
\eqnlineB{P_B}{=}{\frac{1}{1+M_L}}\\[1ex]
\eqnlineB{P_A}{=}{\frac{M_L}{1+M_L}}\\[1ex]

\subsubsection{Heldrift}

I heldrift är $b = B$ och $\min i_L > 0$\\[1ex]
%
\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{a \min i_L + B > B}\\[1ex]
\eqnlineB{P_B}{=}{\frac{1}{1+M_L}}\\[1ex]
\eqnlineB{P_A}{=}{\frac{M_L}{1+M_L}}\\[1ex]

\subsubsection{Gränsströmmen}

Vi nämnde tidigare att vi sökte den ström som får kraftcellen att arbeta på
gränsnivån.
Vi ser här att det finns ett värde $B$ där\\[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{k_t I_{ut}}$}%
{$\:\displaystyle{}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{< B}$\hfill }för deldrift}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{= B}$\hfill }för gränsdrift}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{> B}$\hfill }för heldrift}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]
$B$ (plus ev. tecken) är alltså den sökta gränsströmmen $I_{gr}$:\\[1ex]
\eqnlineB{k_t I_{gr}}{=}{B = -I_B \frac{1+ k_AM_L}{2(1 + M_L)^2}
 = - U_B T_s \frac{1+ k_AM_L}{2 L (1 + M_L)^2}}\\[1ex]

\subsubsection{Gränsinduktanser}

Omvänt är det också intressant att hitta vilken induktans ($L_{gr}$) som ger gränsdrift för en given ström.
För gränsdrift har vi enl. ovan:\\[0.5ex]
\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{
   - I_B \frac{ (1+ k_AM_L)}{2(1 + M_L)^2}
  = \frac{ - U_B T_s (1+ k_AM_L)}{2 L (1 + M_L)^2}
  }\\[1ex]
%
Dito. för $I_{in}$:\\[0ex]
\eqnlineB{I_{in}}{=}{
  (M_L+k_B)\frac{I_A}{2M_L}P_A^2
  = \frac{I_A(M_L+k_B)M_L}{2(1+M_L)^2}
  = \frac{U_AT_s(M_L+k_B)M_L}{2L(1+M_L)^2}
  }\\[2ex]
%
Vår gränsinduktans blir då:\\
\eqnlineB{L_{gr} = L}{=}{
  \frac{-U_B T_s P_{ut} P_B}{2k_t I_{ut}}
  = \frac{ - U_B T_s (1+ k_A M_L)}{2 k_t I_{ut} (1 + M_L)^2}
}\\[2ex]
\eqnlineB{}{=}{
  \frac{U_A T_s P_{in} P_A}{2 I_{in}}
  = \frac{U_AT_s(M_L+k_B)M_L}{2I_{in}(1+M_L)^2}
}\\[1ex]
%
För heldrift kan vi också behöva veta vilken induktans $L_k$
(låt $k$ stå för procent, så $k = 20$ avser $20\% = 20/100$),
för givet $I_{ut}$, som behövs för att
strömvariationen ($I_{Lpp}/2$) ska begränsas till en viss procent av
medelströmmen ($I_M$) genom induktorn\\[1ex]
%
\eqnlineB{\frac{k}{100}}{=}{\frac{I_{LPP}/2}{I_M} = \frac{- U_{ut} P_B T_s / L_k}{k_t I_{ut} / P_{ut}}
 = \frac{- U_{ut} P_{ut} P_B T_s}{k_t I_{ut} L_k}
}\\[1ex]
och om vi byter plats på $L_k$ och $k/100$:\\[0.5ex]
\eqnlineB{L_k}{=}{100 \frac{- U_{ut} P_{ut} P_B T_s}{k_t I_{ut} k}}\\[-0.5ex]
Vi ser att\\[-0.5ex]
\eqnlineB{\frac{L_k}{L_m}}{=}{\frac{m}{k}}\\[0ex]
så\\[-0.5ex]
\eqnlineB{L_k}{=}{\frac{m}{k}L_m}\\[1ex]
%
Nu vet vi att i gränsnivån är $\min i_L = 0$ och $\max i_L = i_{LPP}$, så för gränsnivån gäller:\\[1ex]
\eqnlineB{I_M}{=}{\frac{\min i_L + \max i_L}{2} = \frac{I_{LPP}}{2}}\\[1ex]
%
dvs. $L_{100} = L_{gr}$, vilket ger\\[0.5ex]
\eqnlineB{L_k}{=}{\frac{100}{k} L_{gr}}\\[0ex]
%
Alltså:\\[-0.5ex]
\eqnlineB{L_{20}}{=}{5 L_{gr}}

\subsection{Hur $I_{Lpp}$ beror på $L$}

\paragraph{I deldrift} är\\
\eqnlineB{I_{Lpp}}{=}{P_A I_A = \frac{U_A T_s}{L} \sqrt{\frac{2M_LI_{in}L}{U_A T_s(M_L+k_B)}}
  = \sqrt{ \frac{2M_L U_A T_s I_{in}}{(M_L+k_B)L} }}\\[1ex]
Alt.\\[0ex]
\eqnlineB{I_{Lpp}}{=}{- P_B I_B = \frac{-U_B}{L}T_s \sqrt{\frac{2k_t I_{ut} L}{-U_B T_s (1+k_A M_L)}}
  = \sqrt{ \frac{2(-U_B)T_sk_tI_{ut}}{(1+k_AM_L)L}  }}\\[1ex]
%
\paragraph{I gräns- och heldrift} är\\
\eqnlineB{I_{Lpp}}{=}{I_{LPP} = \frac{ M_L U_A T_s}{(1+M_L)L} = \frac{- U_B T_s}{(1+M_L) L}}\\[2ex]

\paragraph{Dvs.} $i_{Lpp}$ minskar med ökande $L$.

\subsection{Hur $I_M$ beror på $L$}

\paragraph{I deldrift} är\\
%
\eqnlineB{I_M}{=}{
  I_{Lpp}/2
  = \sqrt{ \frac{M_L U_A T_s I_{in}}{2(M_L+k_B)L} }
  = \sqrt{ \frac{(-U_B)T_sk_tI_{ut}}{2(1+k_AM_L)L}}
}\\[1ex]

\paragraph{I gräns- och heldrift} är\\
%
\eqnlineB{P_A}{=}{\frac{M_L}{1+M_L}}\\[1ex]
\eqnlineB{I_M}{=}{\frac{I_{in}}{P_{in}} = \frac{M_LI_{in}}{(M_L + k_B) P_A} = \frac{1+M_L}{M_L+k_B}I_{in}}\\[2ex]
Alternativt\\[0ex]
\eqnlineB{P_B}{=}{\frac{1}{1+M_L}}\\[2ex]
\eqnlineB{I_M}{=}{\frac{k_t I_{ut}}{P_{ut}} = \frac{k_t I_{ut}}{(1+k_A M_L)P_B} = \frac{1+M_L}{1+k_A M_L} k_t I_{ut}}\\[1ex]
%
\paragraph{Dvs.} $I_M$ minskar med ökande $L$ i deldrift och är oberoende av $L$ i övrigt.

\subsection{Hur $\max i_L$ beror på $L$}

\paragraph{I del- och gränsdrift} är\\
%
\eqnlineB{\max i_L}{=}{
  I_{Lpp}
  = \sqrt{ \frac{2(-U_B)T_sk_tI_{ut}}{(1+k_AM_L)L}}
  = \sqrt{ \frac{2M_L U_A T_s I_{in}}{(M_L+k_B)L} }
}\\[1ex]

\paragraph{I gräns- och heldrift} är\\
\eqnlineB{\max i_L}{=}{ I_M + I_{LPP}/2}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\frac{1+M_L}{1+k_A M_L} k_t I_{ut} + \frac{(-U_B)T_s}{2(1+M_L)L}}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\frac{1+M_L}{M_L+k_B}I_{in} + \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)L} }\\[1ex]

\paragraph{Dvs.} $\max i_L$ minskar med ökande $L$ men begränsas nedåt av $I_M$.

\subsection{Hur $\min i_L$ beror på $L$}

\paragraph{I del- och gränsdrift} är\\
%
\eqnlineB{\max i_L}{=}{0}\\[1ex]

\paragraph{I gräns- och heldrift} är\\
\eqnlineB{\min i_L}{=}{ I_M - I_{LPP}/2}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\frac{1+M_L}{1+k_A M_L} k_t I_{ut} - \frac{(-U_B)T_s}{2(1+M_L)L}}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\frac{1+M_L}{M_L+k_B}I_{in} - \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)L} }\\[1ex]

\paragraph{Dvs.} $\min i_L$ är noll i deldrift och ökar med ökande $L$ men begränsas uppåt av $I_M$.

\subsection{Den lagrade energin i $L$}

En spole byggs upp av något magnetiskt ledande material som man låter linda ett
antal varv isolerad koppartråd på.
Det magnetiska ledande materialet består någon järnförening.\makebox[-3pt]{}%
\footnote{
 Den kemiska beteckningen för järn är Fe efter latinets Ferrum och en viktig klass
 av dessa magnetiskt ledande material kallas för ferriter.
}
Det magnetiska materialet kallas för induktorns järn-, ferrit- eller magnetkärna och
finns i olika (geometriska) utföranden, s.k. kärntyper,
 och det finns olika tillbehör för att underlätta lindningen av
koppartråden och montering av delar.
 ``Koppartråden'' kan vara rund, rektangulär, platt eller utfört på något annat sätt.
t.ex. som ett ledningsmönster på ett kretskort.

%Kärnor finns i olika material, typer och storlekar.
Ofta kan det vara intressant att hitta den minsta storleken för konstruktionen
man gör för givet material och typ;
 storleken avgör hur mycket energi man kan lagra i induktorn.

Som vi såg i stycket om energilager är den lagrade energin i en spole:\\[1ex]
\eqnlineB{E_L}{=}{\frac{I_L^2 L}{2}}\\[1ex]
%
där $I_L = \max i_L$ är den maximala strömmen genom spolen.\\

\subsubsection{Del- och gränsdrift}

Vi har:\\
\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{P_{ut} I_M = P_{ut} \frac{\max i_L + \min i_L}{2}}\\[2ex]
%
men $\min i_L = 0$ i deldrift:\\[1ex]
%
\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{P_{ut} \frac{\max i_L}{2}}\\[1ex]
så\\
\eqnlineB{\max i_L}{=}{\frac{2 k_t I_{ut}}{P_{ut}} = \frac{2 k_t I_{ut}}{(1 + k_A M_L) P_B}}\\
och energin blir då:\\
\eqnlineB{E_L}{=}{\frac{4k_t^2 I_{ut}^2}{(1 + k_A M_L)^2 P_B^2}\ \frac{L}{2} }\\[2ex]
Som vi såg tidigare under stycket deldrift är:\\[1ex]
\eqnlineB{P_B^2}{=}{\frac{2 k_t I_{ut} L}{(-U_B) T_s (1+k_A M_L)}}\\[1.5ex]
%
och den lagrade energin blir:\\[1ex]
\eqnlineB{E_L}{=}{\frac{- U_B k_t I_{ut} T_s}{1 + k_A M_L}}\\[2ex]
Så, oberoende vilket värde på $L$ vi än väljer (så länge $L \leq L_{gr}$)
är den maximala energin som uppnås under en arbetscykel konstant.

\subsubsection{Heldrift}

I heldrift gäller:\\
%\eqnlineB{k_t I_{ut}}{=}{P_{ut} I_M = P_{ut} \frac{\max i_L + \min i_L}{2}}\\[2ex]
\eqnlineB{I_M}{=}{\frac{k_t I_{ut}}{P_{ut}} = k_t I_{ut} \frac{1+M_L}{1+k_A M_L}}\\[1ex]
och\\
\eqnlineB{\max i_L}{=}{I_M + \frac{I_{LPP}}{2} = I_M + \frac{-U_B Ts}{2(1+M_L)L} = I_M + \frac{K_E}{L}}\\[2ex]
%
där $K_E = -U_B T_s/(2(1+M_L))$, så\\[2ex]
\eqnlineB{E_L}{=}{\frac{1}{2}(I_M + \frac{K_E}{L})^2 L =
\frac{I_M^2 L}{2} + I_M K_E + \frac{K_E^2}{2L}
}\\[2ex]
%
och vi ser $E_L$ växer obegrånsat när $L$ närmar sieg $0$ och för stora värden på $L$.
För att hitta $E_L$-s minimum, söker vi efter derivatans nollställen och kallar det
nollstället för $L_E$:\\[1ex]
%
\eqnlineB{\frac{\ud E_L}{\ud L}}{=}{\frac{I_M^2}{2} - \frac{K_E^2}{2L_E^2} = 0}\\[1ex]
\eqnlineB{\frac{I_M^2}{2}}{=}{\frac{K_E^2}{2L_E^2}}\\[1ex]
%
och eftersom $L_E$ är positiv och i heldrift är $P_B = 1/(1+M_L)$:\\[1ex]
\eqnlineB{L_E}{=}{\frac{K_E}{I_M} = \frac{-U_B T_s}{2(1+M_L)I_M} = \frac{-U_B T_s P_B}{2 I_M} }\\[1ex]
nu vet vi att $k_tI_{ut} = P_{ut} I_M$:\\[1ex]
\eqnlineB{L_E}{=}{\frac{-U_B T_s P_{ut} P_B}{2 P_{ut} I_M} = \frac{-U_B T_s P_{ut} P_B}{2 k_t I_{ut}}}\\[1ex]
%
och vi ser då att:\\[1ex]
\eqnlineB{L_E}{=}{L_{gr}}\\[1ex]

Dvs. om vi vill optimera kraftcellen med avseende på induktorns storlek ska vi ge den ett värde
som är högst lika med $L_{gr}$.
 Och för givna $U_{in}, U_{ut}, I_{ut}, T_s$ krävs en minsta storlek (energikapacitet) på induktorn
för att den ska klara uppgiften.

\section{Förhållandet mellan $P_A$ och $M$}

Om vi tittar tillbaka på figur \ref{pwrc} igen och antar att $Z$ är rent resistiv,
 dvs. ett motstånd med motståndet $R$ och om vi för tillfället ignorerar $C_{ut}$
 kan man säga att $R = U_{ut} / I_{ut}$.
Som vi såg i stycket om approximationer, finns det ett $\tau = L/R$,
 så om vi definerar ett värde:\\[1ex]
%
\eqnlineB{K_{\tau}}{=}{  \frac{T_s}{\tau} = \frac{U_{ut}T_s}{I_{ut}L}  }\\[1ex]
%
så borde $P_B K_{\tau}$ vara hur långt ut på  kurvan i figur \ref{tau} vi befinner oss
vid slutet av steg \textbf{B}.
Det sagt, i litteraturen verkar denna egenskap inte beskrivas, men vi kan finna ett $K$:\\[1ex]
\eqnlineB{K}{=}{ \frac{2 I_{ut} L }{ U_{ut} T_s } }\\[1ex]
som beskrivs som ett mått på hur gärna induktorn vill arbeta i deldrift.
Vi kommer använda detta $K$ som en förkortning men kommer inte gå in på det närmare.

\subsection{Kraftceller av typen K1}

\noindent
Förutsättningar:\\[-3ex]
\[ U_A = U_{in}\quad U_B = U_{in} - U_{ut} \quad k_t = +1 \quad k_A = 0 \quad k_B = 1 \]
%
$M_L$ och $M$:\\[0ex]
\eqnlineB{M_L}{=}{\frac{-U_B}{U_A} = \frac{U_{ut} - U_{in}}{U_{in}}}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\frac{U_{ut}}{U_{in}} - 1 = M - 1}\\[1ex]
\eqnlineB{M}{=}{1 + M_L}\\[0ex]
%
För $P_A$ gäller:\\[-0.5ex]
\eqnlineB{0 < P_A}{\DGH}{\frac{M_L}{1+M_L} = \frac{M - 1}{M} = 1 - \frac{1}{M}}\\[1ex]
\eqnlineB{\frac{1}{M}}{\DGH}{1 - P_A}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < 1 - P_A < 1}{\Leftrightarrow}{1 < \frac{1}{1-P_A}}\\
\eqnlineB{1 < \frac{1}{1 - P_A}}{\DGH}{M}\\[1ex]
För $P_B$ gäller:\\[-0.5ex]
\eqnlineB{0 < P_B}{\DGH}{\frac{1}{1+M_L} = \frac{1}{M}}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < M}{\DGH}{\frac{1}{P_B}}\\[1ex]
%
i deldrift:\\[1ex]
\eqnlineB{P_A}{=}{\sqrt{ \frac{-U_B 2 k_t I_{ut} L}{U_A^2 (1 + k_AM_L) T_s} }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ \frac{U_{ut}(U_{ut} - U_{in}) 2 I_{ut} L}{U_{in}^2 U_{ut} T_s} }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ M(M-1) K }}\\[1ex]
%
\eqnlineB{P_B}{=}{ \sqrt{ \frac{2 k_t I_{ut} L}{(-U_B) T_s (1+k_A M_L)} } }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{ \sqrt{ \frac{ U_{ut}2 I_{ut} L}{(U_{ut} - U_{in}) U_{ut} T_s } } }\\[1ex]
och dividera sedan med $U_{in}$:\\[-1ex]
\eqnlineB{}{=}{ \sqrt{ \frac{ M K}{M-1} } }\\[1ex]
%
$P_A$ och $P_B$:\\[1ex]
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{P_A}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{
    $\displaystyle{\sqrt{ M(M-1) K }}$\hfill }för deldrift}\\[3ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{\frac{M - 1}{M}}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[2ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{P_B}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{\sqrt{ \frac{ M K}{M-1}}}$\hfill }för deldrift}\\[3ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{\frac{1}{M}}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[2ex]
%
$P_A$ och $M$:\\[1ex]
Av formeln för $P_A$ kan vi söka förhållandet mellan $P_A$ och $M$ i deldrift:\\[1ex]
\eqnlineB{M}{>}{0}\\[1ex]
\eqnlineB{P_A^2}{=}{M(M-1) K = (M^2 - M)K}\\[1ex]
\eqnlineB{M^2 - 2 \frac{1}{2} M + \big(\frac{1}{2}\big)^2}{=}{\big(M-\frac{1}{2}\big)^2
  = \frac{1}{4} + \frac{P_A^2}{K} = \frac{1}{4}\big(1 + \frac{4P_A^2}{K}\big)}\\[2ex]
så fås lösningen:\\[1ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{M}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{\frac{1 + \sqrt{1 + 4P_A^2/K}}{2}}$\hfill }för deldrift}\\[2ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{\frac{1}{1 - P_A}}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]

\subsection{Kraftceller av typen K2}

Förutsättningar:\\[-3ex]
\[ U_A = U_{in} - U_{ut}\quad U_B = - U_{ut} \quad k_t = +1 \quad k_A = 1 \quad k_B = 0 \]
%
$M_L$ och $M$:\\[0ex]
\eqnlineB{M_L = \frac{-U_B}{U_A}}{=}{\frac{U_{ut}}{U_{in} - U_{ut}} = \frac{M}{1-M}}\\[1ex]
\eqnlineB{1+M_L}{=}{  \frac{1-M}{1-M} + \frac{M}{1-M}  = \frac{1}{1-M} }\\[1ex]
\eqnlineB{1-M}{=}{ \frac{1}{1+M_L} }\\[2ex]
\eqnlineB{M}{=}{\frac{1+M_L}{1+M_L} - \frac{1}{1+M_L} = \frac{M_L}{1+M_L}}\\[0ex]
%
För $P_A$ gäller:\\[-0.5ex]
\eqnlineB{0 < P_A}{\DGH}{\frac{M_L}{1+M_L} = M}\\[1ex]
%
För $P_B$ gäller:\\[-0.5ex]
\eqnlineB{0 < P_B}{\DGH}{\frac{1}{1+M_L} = 1 - M}\\[1ex]
%
i deldrift:\\[1ex]
\eqnlineB{P_A}{=}{\sqrt{ \frac{-U_B 2 k_t I_{ut} L}{U_A^2 (1 + k_AM_L) T_s} }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ \frac{ U_{ut} 2 I_{ut} L}{(U_{in} - U_{ut})^2 (1 + M_L) T_s} }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ \frac{ U_{ut}^2 K}{(U_{in} - U_{ut})^2 (1 + M_L) } }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ \frac{ (1-M) K}{(1/M - 1)^2 } }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ \frac{M (1/M-1) K}{(1/M - 1)^2 } }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{ \frac{M^2 K}{1 - M} }}\\[1ex]
%
\eqnlineB{P_B}{=}{ \sqrt{ \frac{2 k_t I_{ut} L}{(-U_B) T_s (1+k_A M_L)} } }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{  \sqrt{ \frac{(1-M)2I_{ut}L}{U_{ut}T_s} }  }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{  \sqrt{ (1-M)K } }\\[1ex]
%
$P_A$ och $P_B$:\\[1ex]
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{P_A}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{%
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{
  \sqrt{ \frac{M^2 K}{1 - M} }
    }$\hfill }för deldrift}\\[2ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{M}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[2ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{P_B}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{%
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{
  \sqrt{ (1-M)K }
    }$\hfill }för deldrift}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{1-M}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[2ex]
%
$P_A$ och $M$:\\[1ex]
I deldrift\\[1ex]
\eqnlineB{P_A^2}{=}{ \frac{M^2K}{1-M} }\\[1ex]
\eqnlineB{\frac{1}{M^2} - \frac{1}{M}}{=}{ \frac{K}{P_A^2} }\\[1ex]
\eqnlineB{\frac{1}{M^2} - 2 \frac{1}{2} \frac{1}{M} + \frac{1}{4}}{=}{
  \big(\frac{1}{M} - \frac{1}{2}\big)^2 = \frac{1}{4}\Big(1 + \frac{4K}{P_A^2}\Big) }\\[1ex]
\eqnlineB{\frac{1}{M}}{=}{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}\Big(1 + \frac{4K}{P_A^2}\Big)}
 =  \frac{1}{2}\Bigg( 1 + \sqrt{1 + \frac{4K}{P_A^2}}\ \Bigg)
}\\[1ex]
%\eqnlineB{M}{=}{ \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \displaystyle{\frac{4K}{P_A^2}}}}}\\[1ex]
\eqnlineB{M}{=}{ \frac{2}{1 + \sqrt{1 + 4K/P_A^2}}}\\[1ex]
%
Vi får lösningen:\\[0.5ex]
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{M}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{\frac{2}{1 + \sqrt{1 + 4K/P_A^2}}}$\hfill }för deldrift}\\[4ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{P_A}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]

\subsection{Kraftceller av typen K3}

Förutsättningar:\\[-3ex]
\[ U_A = U_{in}\quad U_B = U_{ut} \quad k_t = -1 \quad k_A = 0 \quad k_B = 0 \]
%
$M_L$ och $M$:\\[0ex]
\eqnlineB{M_L = \frac{-U_B}{U_A}}{=}{\frac{-U_{ut}}{U_{in}} = - M > 0}\\[1ex]
\eqnlineB{M}{=}{-M_L < 0}\\[1ex]
%
För $P_A$ gäller:\\[-0.5ex]
\eqnlineB{0 < P_A}{\DGH}{\frac{M_L}{1+M_L} = \frac{-M}{1 - M} = \frac{M}{M-1}}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < \frac{1-M}{-M} = \frac{1}{-M} + 1}{\DGH}{\frac{1}{P_A}}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < \frac{1}{-M}}{\DGH}{\frac{1}{P_A} - 1 = \frac{1 - P_A}{P_A}}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < \frac{P_A}{1-P_A}}{\DGH}{-M}\\[1ex]
För $P_B$ gäller:\\[-0.5ex]
\eqnlineB{0 < P_B}{\DGH}{\frac{1}{1+M_L} = \frac{1}{1 - M}}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < 1 - M}{\DGH}{\frac{1}{P_B}}\\[1ex]
\eqnlineB{-M}{\DGH}{ \frac{1}{P_B} - 1 = \frac{1 - P_B}{P_B}}\\[1ex]
%
i deldrift:\\[1ex]
\eqnlineB{P_A}{=}{\sqrt{ \frac{-U_B 2 k_t I_{ut} L}{U_A^2 (1 + k_AM_L) T_s} }}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{ \sqrt{  \frac{ U_{ut}2 I_{ut}L }{ U_{in}^2 T_s  }  }  }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{M^2K}}\\[1ex]
%
\eqnlineB{P_B}{=}{ \sqrt{ \frac{2 k_t I_{ut} L}{(-U_B) T_s (1+k_A M_L)} } }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{  \sqrt{ \frac{2I_{ut}L}{U_{ut}T_s} }  }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{\sqrt{K}}\\[1ex]
%
$P_A$ och $P_B$:\\[1ex]
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{P_A}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{%
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{ \sqrt{ M^2K } }$\hfill }för deldrift}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{\frac{-M}{1-M}}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[2ex]
%
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{P_B}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{%
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{  \sqrt{ K }}$\hfill }för deldrift}\\[1ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{\frac{1}{1-M}}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[2ex]
%
$P_A$ och $M$:\\[1ex]
I deldrift\\[1ex]
\eqnlineB{M}{<}{0}\\[1ex]
\eqnlineB{P_A^2}{=}{M^2K}\\[1ex]
\eqnlineB{M^2}{=}{\frac{P_A^2}{K}}\\[1ex]
\eqnlineB{M}{=}{-\sqrt{\frac{P_A^2}{K}}}\\[1ex]
%
Vi får lösningen:\\[0.5ex]
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{M}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{-\sqrt{\frac{P_A^2}{K}}}$\hfill }för deldrift}\\[3ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{- \frac{P_A}{1-P_A}}$\hfill }för hel- och gränsdrift}
\end{array}
\right.$}\\[1ex]

\section{Strömmar och spänningar över kondensatorerna}

Låt oss nu titta på kondensatorerna.
Vi vill att spänningarna över kondensatorerna ska vara i det närmaste konstanta.
Det i sin tur gör att $I_{in}$ och $I_{ut}$ också är i det närmaste konstanta.
Om spänningen över en kondensator inte förändras cykel till cykel så innebär det
att antalet laddningar som kondensatorn har inte förändras,
dvs. antalet laddningar som flödar in till och antalet som flödar ut ur kondensatorn är lika många.
Det är samma sak som att säga att medelvärdet av kondensatorströmmen är noll,
eller $\int_0^{T_s} i_{C_{in}} dt = 0$ och detsamma för $i_{C_{ut}}$.
Det är vad vi kom fram ovan i stycket om stabila arbetscykler.
Figur \ref{CA} visar ingångskondensatorns delströmmar $I_{in}$ och $i_{L_{in}}$ för koppling K2.
$I_{in}$ laddar upp och $i_{L_{in}}$ laddar ur $C_{in}$.
Eftersom spänningen över kondensatorn inte förändras från cykel till cykel är
$0 = q_{in} + q_{ut} = I_{in} T_s - P_{in} T_s (\max i_L + \min i_L) / 2$ dvs.
$I_{in} = P_{in} I_M$.

\begin{figure}[ht]
  \input{tikz_CAA_sv_SE}
  \caption{Delströmmar över $C_{in}$}
  \label{CA}
\end{figure}

\subsection{Små spänningsvariationer på utspänningen}

Små variationer i utspänningen uppkommer pga. strömen över
$C_{in}$s och $C_{ut}$s interna motstånd (se figur \ref{esr}, vi kallar dem $R_{in}$ och $R_{ut}$)
och den variation av laddning som uppstår i $C_{in}$ resp. $C_{ut}$ över en arbetscykel.
Vi kan nöja oss med att ta reda på dessa delspänningar var för sig
och vi kan antingen ta fram deras topp till toppvärden eller
deras avikelse från grundspänningen ($U_{in}$ eller $U_{ut}$).
Enklast och mest användbart är nog topp till toppvärden.

Så vi ska försöka hitta formler för
 $\Delta U_C = (\max q - \min q) / C$ och
 $\Delta U_R = (\max i_c - \min i_c) R$ för
resp. kondensator.

\begin{figure}[ht]
  \input{tikz_CAB_sv_SE}
  \caption{Kondensatorströmmar för olika kraftceller, deldrift}
  \label{CAB}
\end{figure}

Figur \ref{CAB}:\textbf{a}--\textbf{f} visar kondensatorströmmen för $C_{in}$ (övre raden) och $C_{ut}$ (undre raden)
för olika kraftcellskopplingar.
Vi ser att i fyra fall har strömkurvan en vertikalt hopp vid $T_1$ och i två fall
går kurvan utan sådana hopp.
Låt kalla de med ett hopp (\textbf{b}, \textbf{c}, \textbf{d} och \textbf{f})
 för de med ``enkel'' inkoppling, eftersom induktorn
bara delar ström med kondensatorn under ``ett'' arbetssteg, \textbf{A} för ingången och
\textbf{B} för utgången.
Dessa hopp ger störningar till omvärlden, och
stöningarna kan behöva åtgärdas.
Och de utan hoppet (\textbf{a} och \textbf{e}) för ``dubbel'' inkoppling eftersom induktorn
delar ström med kondensatorn under två steg, \textbf{A} och \textbf{B}.

Vi har $I_{in} = i_{C_{in}} + i_{L_{in}}$ och $k_t i_{L_{ut}} = i_{C_{ut}} + I_{ut}$ att utgå ifrån
när induktorn är ansluten till resp. kondensator och
$i_{C_{in}} = I_{in}$ och $i_{C_{ut}} = - I_{ut}$ i övrigt.
Av det följer att i
 steg \textbf{B} för \textbf{b} och \textbf{c}, 
 steg \textbf{A} för \textbf{d} och \textbf{f} och
 steg \textbf{C} för alla kopplingar,
 är kondensatorströmmen lika med $I_{in}$ resp. $-I_{ut}$.
I övrigt har kondensatorströmmen största och minsta värden $i_1$, $i_2$, $i_3$ och $i_4$
enligt formler i figur \ref{CAB} och samma lutning (bortsett från tecken, dvs. $\pm I_A$ resp. $\pm I_B$)
 som strömkurvorna i figur \ref{LvlStp}.

En sak som vi kan observera i figur \ref{CAB} är att $k_B = 0$ innebär inkel
 och $k_B = 1$ dubbel inkoppling på ingånssidan och motsvarande för $k_A$ och utgångssidan.

\subsection{Enkel inkoppling}

Enkel inkoppling är när induktorn bara delar ström med kondensatorn under ett arbetssteg.
Figur \ref{CAC} visar ingångens kondensatorström för K2 för olika stora ingångsströmmar.
Av figurerna kan vi sluta oss till att när $I_{in}$ ökar så ökar också laddningen
(de mörk- resp. ljusgråa ytorna) som pulserar fram och tillbaka.

I figur \ref{CAB} ser vi hur ingångssidans kondensatorströmm ser ut för
 olika strömstyrkor in i kraftcellen för enkel inkoppling.
Det ser likartat ut på utgången, skillnaden kan ses om vi jämför kurvan
 i figur \ref{CAB}:\textbf{b} med den i \ref{CAB}:\textbf{d} eller \ref{CAB}:\textbf{f},
 den mörkgråa ytan är under \textbf{B}-steget istf. \textbf{A}-steget
 och kurvan kan vara uppochner.

\begin{figure}[ht]
  \input{tikz_CAC}
  \caption{Strömstyrkans effekt på kondensatorströmmen}
  \label{CAC}
\end{figure}

Vid strömstyrka I i diagrammet (del- och gränsdrift) är $\min i_L = 0$ och kurvan går från $I_{in}$ neråt
med lutningen $I_A$.
Vid styrka II, har induktorn kommit upp i heldrift och som vi ser av
 figuren kommer $i_1$ att ligga allt mer under $I_{in}$ ju mer ström
 som går genom kretsen tills vi kommer upp i styrka III då $\min i_L$
 är minst lika stor som $I_{in}$ i magnitud.
Så vi har tre hållpunkter för strömmen,
 $I_{in}$, $i_1 = I_{in} - \min i_L$ och $i_2 = I_{in} - \max i_L$.
Det sker två hopp i strömkurvan,
 ett mindre vid tiden $t = 0$ (och $t = T_s$) då strömmen går från
 $I_{in}$ till $i_1$, det hoppet finns bara i heldrift.
Och ett större vid tiden $T_1$ då strömmen går från $i_2$ till $I_{in}$.

För att beräkna spänningsändringar pga. variation i kondensatorns laddning vi kan 
räkna ut antingen den ljus- eller mörkgråa ytan (de är lika stora, vi förutsätter en stabil arbetscykel).
Störst och minst laddning har kondensatorn i de två tidpunkterna där kurvan skär tidsaxeln,
störst där kurvan går uppifrån ner och minst där kurvan går nerifrån upp.
Den ena tidpunkten är $T_1$, det är där det största hoppet sker
och låt oss kalla den andra för $T_x$.
På ingångssidan ligger $T_x$ straxt efter $t=0$, se figur \ref{Csimplex}.
På utgångssidan ligger $T_x$ straxt innan $t=T_2$.

\subsubsection{Strömstyrka I och II}

 Om $\min i_L \leq I_{in}$ resp. $\min i_L \leq k_t I_{ut}$
 (strömstyrka I och II, upp till viss heldrift),
 använder vi den mörkgråa triangeln.
%
Höjden (eller djupet) på hela triangeln (dvs. även den bit som går ovanför tidsaxeln)
 är $i_{Lpp}$ och för steg \textbf{A} är bredden $P_AT_s$ ($P_BT_s$ för steg \textbf{B}).
För att lättare kunna se, finns en förstoring av figur \ref{CAC}:I i figur \ref{Csimplex}.

\begin{figure}[ht]
  \input{tikz_Csimplex}
  \caption{Enkel inkoppling, detalj av figur \ref{CAC}:I}
  \label{Csimplex}
\end{figure}

På ingångssidan har den mörkgråa triangeln
 basen $T_1 - T_x$ och höjden $\abs{i_2} = \abs{\max i_L - I_{in}}$.
Ytan blir då $q = (T_1 - T_x)\abs{i_2}/2$.
Låt nu $P_x = (T_1 - T_x) / T_s$, vi då skriva om ytformeln till
$q = \abs{i_2} P_x T_s / 2$.
Triangelns sneda sida har lutningen $I_A$ så
$P_x I_A = i_2$ eller $P_x = i_2/I_A$.
Då blir\\[1ex]
\eqnline{q_{in}}{=}{\frac{i_2^2 T_s}{2 I_A} = \frac{(\max i_L - I_{in})^2T_s}{2I_A}}{\text{för ingången}}\\[1ex]
%
och för utgången ($P_x = (T_x - T_1)/T_s$)\\[1ex]
\eqnlineB{q_{ut}}{=}{\frac{k_ti_4P_x T_s}{2} = \frac{(k_ti_4)^2 T_s}{-2I_B}}\\[1ex]
\eqnline{}{=}{\frac{(\max i_L - k_tI_{ut})^2T_s}{-2I_B}}{\text{för utgången}}\\[1ex]
och spänningarna blir ($I_A = U_A T_s / L$, $I_B = U_B T_s / L$)\\[1ex]
\eqnline{\Delta U_{C_{in}}}{=}{\frac{i_2^2 T_s}{2 C_{in}} (\frac{1}{I_A}) =
 \frac{ L ( \max i_L - I_{in})^2}{2 C_{in} U_A} \geq 0}{\text{för ingången}}\\[1ex]
\eqnline{\Delta U_{C_{ut}}}{=}{\frac{(k_ti_4)^2 T_s}{2 C_{ut}} (\frac{1}{-I_B}) =
 \frac{ L (\max i_L - k_t I_{ut})^2}{-2 C_{ut} U_B} \geq 0}{\text{för utgången}}\\[1ex]

\subsubsection{Strömstyrka I} innebär del- eller gränsdrift. Då är\\[1ex]
%
\eqnlineB{i_2}{=}{\max i_L - I_{in} = \frac{1}{\sqrt{L}}\ \sqrt{ \frac{2M_L U_A T_s I_{in}}{M_L+k_B} } - I_{in}}\\[1ex]
%
Låt nu tillfälligtvis $a$, $b$ och $c$ vara:\\[-3ex]
\[
a = \frac{1}{2C_{in}U_A}
\quad
b = \sqrt{ \frac{2M_L U_A T_s I_{in}}{M_L+k_B} }
\quad
c = I_{in}
\qquad\qquad
  \]
%
För att titta på hur $\Delta U_{C_{in}}$ varierar med $L$
använder vi funtionen $f$:\\[1ex]
\eqnlineB{f(L)}{=}{ \Delta U_{C_{in}} = \frac{i_2^2T_s}{2C_{in}I_A} = \frac{1}{2C_{in}U_A} L i_2^2 = a L i_2^2}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  a L (\frac{1}{\sqrt{L}}\ \sqrt{ \frac{2M_L U_A T_s I_{in}}{M_L+k_B} } - I_{in})^2
  = a L(\frac{b}{\sqrt{L}} - c)^2
  }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  a (b - c\sqrt{L})^2
  = ab^2 - 2abc\sqrt{L}  + ac^2L
  }\\[0ex]
%
Dess derivata är\\[0ex]
\eqnlineB{f'}{=}{a(c^2 - \frac{bc}{\sqrt{L}}) = ac(c - \frac{b}{\sqrt{L}})}\\[0ex]
%
Både $f$ och $f'$ har ett nollställe i:\\[0.5ex]
\eqnlineB{L_0}{=}{(\frac{b}{c})^2 = \frac{2M_LU_AT_s}{(M_L+k_B)I_{in}} }\\[1ex]
%
För $L < L_0$ är $f'(L) < 0$, så mellan $0$ och $L_0$ är $f(L)$ minskande.
Följande gäller:\\[1ex]
\eqnlineB{0 \leq k_B \leq 1}{\text{och}}{0 < M_L}\\[1ex]
%
Vi kan kombinera detta till:\\[1ex]
\eqnlineB{k_B \leq 1}{<}{2 + M_L}\\[1ex]
\eqnlineB{0 < M_L + k_B}{<}{2 ( 1 + M_L)}\\[1ex]
\eqnlineB{(M_L+k_B)^2}{<}{4(1+M_L)^2}\\[1ex]
\eqnlineB{\frac{M_L+k_B}{2(1+M_L)^2}}{<}{\frac{2}{M_L+k_B}}\\[1ex]
%
och får slutligen resultatat:\\[1ex]
\eqnlineB{L_{gr} = \frac{U_AT_s(M_L+k_B)M_L}{2I_{in}(1+M_L)^2}}{<}{\frac{2U_AT_sM_L}{I_{in}(M_L+k_B)} = L_0}\\[1ex]
%

På utgången har vi på liknande sätt:\\[1ex]
%
\eqnlineB{k_ti_4}{=}{\max i_L - k_tI_{ut}
  = \frac{1}{\sqrt{L}} \sqrt{ \frac{2(-U_B)T_sk_tI_{ut}}{1+k_AM_L}} - k_tI_{ut}
  }\\[1ex]
\[
a = \frac{1}{2C_{ut}(-U_B)}\quad
b = \sqrt{ \frac{2(-U_B)T_sk_tI_{ut}}{1+k_AM_L} }\quad
c = k_t I_{ut}\qquad\qquad
  \]
%
\eqnlineB{f(L)}{=}{ \Delta U_{C_{ut}} = \frac{(k_ti_4)^2T_s}{2C_{ut} (-I_B)} = \frac{1}{2C_{ut}(-U_B)} L (k_ti_4)^2}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  a L(\frac{b}{\sqrt{L}} - c)^2
  = ab^2 - 2abc\sqrt{L}  + ac^2L
  }\\[1ex]
\eqnlineB{L_0}{=}{(\frac{a}{c})^2 = \frac{2(-U_B)T_s}{k_tI_{ut}(1+k_AM_L)} > L_{gr}}\\[1ex]
%
vilket ges av:\\[1ex]
\eqnlineB{0 \leq k_A \leq 1}{\text{och}}{0 < M_L}\\[1ex]
\eqnlineB{k_A}{<}{2 < \frac{1}{M_L} + 2}\\[1ex]
\eqnlineB{1+ k_AM_L}{<}{2(1+M_L)}\\[1.5ex]
\eqnlineB{\frac{1+k_AM_L}{2(1+M_L)^2}}{<}{\frac{2}{1+k_AM_L}}\\[1ex]
\eqnlineB{L_{gr} = \frac{ - U_B T_s (1+ k_A M_L)}{2 k_t I_{ut} (1 + M_L)^2} }{<}{
  \frac{2(-U_B)T_s}{k_tI_{ut}(1+k_AM_L)} = L_0}\\[1ex]

Dvs. i strömstyrka I minskar spånningsvariationarna ($f$) över båda kondensatorerna om vi väljer ett större $L$.

\subsubsection{Gränsen mellan strömstyrka II och III}

Innan vi tittar på strömstyrka II och III, är det bra att veta var gränsen ligger mellan dem.
Och för dens skulle tar vi fram gränsinduktansen $L_{III}$ som är gränsen mellan strömstyrka II och III.
För ingången får vi:\\[1ex]
%
\eqnlineB{0 = i_1}{=}{
  I_{in} -  \min i_L
  =  I_{in} - (\frac{1+M_L}{M_L+k_B}I_{in} - \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)L_{III_{in}}})
 }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)L_{III_{in}}} - \frac{1 - k_B}{M_L+k_B}I_{in}
 }\\[1ex]
\eqnlineB{\frac{1 - k_B}{M_L+k_B}I_{in}}{=}{
  \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)L_{III_{in}}}
 }\\[1ex]
\eqnlineB{L_{III_{in}}}{=}{
  \frac{M_L U_A T_s (M_L+k_B)}{2(1+M_L)(1 - k_B)I_{in}}
  = \frac{1+M_L}{(1 - k_B)} \ \frac{M_L U_A T_s (M_L+k_B)}{2(1+M_L)^2I_{in}}
 }\\[1ex]
($k_B = 0$ i enkel inkoppling)\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  \frac{1+M_L}{(1 - k_B)} L_{gr}
  = (1+M_L) L_{gr}
  = \frac{L_{gr}}{P_B}
}\\[1ex]
%
Och för utgångsidan:\\[1ex]
\eqnlineB{0 = i_3}{=}{ k_t \min i_L - I_{ut} }\\[1ex]
\eqnlineB{0}{=}{ \min i_L - k_t I_{ut} }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{ \frac{1+M_L}{1+k_A M_L} k_t I_{ut} - \frac{(-U_B)T_s}{2(1+M_L)L_{III_{ut}}} - k_t I_{ut} }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{ \frac{1 - k_A}{1+k_A M_L} M_L k_t I_{ut} - \frac{(-U_B)T_s}{2(1+M_L)L_{III_{ut}}} }\\[2ex]
\eqnlineB{\frac{1-k_A}{1+k_A M_L} M_Lk_t I_{ut}}{=}{
  \frac{(-U_B)T_s}{2(1+M_L)L_{III_{ut}}}
 }\\[1ex]
\eqnlineB{L_{III_{ut}}}{=}{
  \frac{(-U_B)T_s(1+k_AM_L)}{2(1+M_L)(1-k_A)M_Lk_tI_{ut}}
  = \frac{1+M_L}{(1-k_A)M_L}\ \frac{(-U_B)T_s(1+k_AM_L)}{2(1+M_L)^2k_tI_{ut}}
}\\[1ex]
($k_A = 0$ i enkel inkoppling)\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  \frac{1+M_L}{(1 - k_A)M_L} L_{gr}
  = \frac{1+M_L}{M_L} L_{gr}
  = \frac{ L_{gr}}{P_A}
}\\[1ex]

\subsubsection{Strömstyrka II}
innebär heldrift och både $P_A$ och $P_B$ är konstanta.
För ingångssidan gäller att:\\[1ex]
%
\eqnlineB{k_B}{=}{0}\\[1ex]
\eqnlineB{\max i_L}{=}{\frac{1+M_L}{M_L+k_B}I_{in} + \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)L} }\\[1ex]
%
\eqnlineB{i_2}{=}{
  \max i_L - I_{in} =
  \frac{1+M_L}{M_L+k_B}I_{in} + \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)L} - I_{in}
  }\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)L} + \frac{1-k_B}{M_L+k_B}I_{in}
  }\\[1ex]
%
Med:\\[-2ex]
\[
a = \frac{1}{2C_{in}U_A}\quad
b = \frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)}\quad
c = \frac{1-k_B}{M_L+k_B}I_{in}
  \]
%
\eqnlineB{f(L)}{=}{
  \Delta U_{C_{in}}
  = a L (\frac{b}{L} + c)^2
  = \frac{ab^2}{L} + 2abc  + ac^2L
}\\[1ex]
\eqnlineB{f'(L)}{=}{-\frac{ab^2}{L^2} + ac^2}\\[1ex]
%
Nollställe till $f'$ är\\[1ex]
\eqnlineB{L_0}{=}{\frac{b}{c}
  = \frac{\quad\displaystyle{\frac{M_L U_A T_s}{2(1+M_L)}\quad}}
  {\displaystyle{\frac{1-k_B}{M_L+k_B}I_{in}}}
  = \frac{U_A T_s (M_L + k_B)M_L }{(1-k_B)2I_{in}(1+M_L)}
}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  \frac{1+M_L}{1-k_B} \ \frac{U_A T_s(M_L + k_B)M_L}{2I_{in}(1+M_L)^2}
  = (1+M_L) L_{gr}
  = \frac{L_{gr}}{P_B}
  = L_{III_{in}}
}\\[2ex]
%
Så ser vi att nollstället är den övre gränsen för strömstyrka II och
 $f'$ är negativ vilket innebär att $f$ minskar för ökande $L$.\\[-1ex]

%
På utgångssidan har vi:\\[1ex]
\eqnlineB{k_A}{=}{0}\\[1ex]
\eqnlineB{\max i_L}{=}{\frac{1+M_L}{1+k_A M_L} k_t I_{ut} + \frac{(-U_B)T_s}{2(1+M_L)L}}\\[1ex]
\eqnlineB{k_ti_4}{=}{\max i_L - k_tI_{ut}
  = \frac{(-U_B)T_s}{2(1+M_L)L} + \frac{1-k_A}{1+k_A M_L}M_L k_t I_{ut}
  }\\[1ex]
%
Med:\\[-2ex]
\[
a = \frac{1}{2C_{ut}U_B}\quad
b = \frac{(-U_B)T_s}{2(1+ M_L)}
\quad
c = \frac{1-k_A}{1+k_A M_L}M_L k_t I_{ut}\qquad\qquad
  \]
\eqnlineB{f(L)}{=}{
  \Delta U_{C_{in}}
  = a L (\frac{b}{L} + c)^2
  = \frac{ab^2}{L} + 2abc  + ac^2L
}\\[1ex]
\eqnlineB{f'(L)}{=}{-\frac{ab^2}{L^2} + ac^2}\\[1ex]
%
Nollställe till $f'$ är\\[1ex]
\eqnlineB{L_0}{=}{\frac{b}{c}
  = \frac{\quad\displaystyle{\frac{-U_B T_s}{2(1+M_L)}\quad}}
  {\displaystyle{\frac{1-k_A}{1+k_A M_L}M_L k_t I_{ut}}}%
  = \frac{1+M_L}{(1-k_A )M_L}\ \frac{-U_B T_s (1+k_A M_L) }{2  k_tI_{ut} (1+M_L)^2}
}\\[2ex]
\eqnlineB{}{=}{
  \frac{1+M_L}{(1-k_A )M_L} L_{gr}
  = \frac{1+M_L}{M_L} L_{gr}
  = \frac{L_{gr}}{P_A}
  = L_{III_{ut}}
}\\[1ex]
och vi har samma slutsats för utgången som för ingången.

\subsubsection{Strömstyrka III}

 Om $\min i_L \geq I_{in}$ (heldrift) så är det enklast att använda
 $q = P_B T_s I_{in}$ på ingångssidan
och, på utgångssidan, om $\min i_L \geq I_{ut}$
så är $q = k_t P_A T_s I_{ut}$ att föredra.\\[1ex]
%
\eqnline{\Delta U_{C_{in}}}{=}{\frac{P_B T_s I_{in}}{C_{in}} = \frac{T_s I_{in}}{(1+M_L) C_{in}}
 }{\min i_L \geq I_{in}\text{, ing.}}\\[1ex]
\eqnline{\Delta U_{C_{ut}}}{=}{\frac{k_t P_A T_s I_{ut}}{C_{ut}} = \frac{k_t T_s I_{ut} M_L}{(1+M_L) C_{ut}}
 }{\min i_L \geq I_{ut}\text{, utg.}}\\[1ex]
%
Vi ser att vid denna strömstyrkan är $\Delta U_C$ oberoende av $L$ och
 det enda sättet att minska spänningsvariationen
 att välja större kondensatorer.

\subsection{Dubbel inkoppling}

Dubbel inkoppling är när induktorn delar ström med kondensatorn under två arbetssteg.
Figur \ref{CAB}:a och \ref{CAD} visar ingångens kondensatorström för K1 för olika stora
ingångsströmmar.
Vi ser att även här har vi en laddningsmängd som pulserar fram och tillbaka även om den
inte ser ut att vara lika stor som för enkel inkoppling.
En annan skillnad som finns är att i heldrift påverkas inte kondenstatorströmmens max och min
av storleken på induktorns medelström eftersom den inte måste in och ut i kondensatorn utan
den flyter förbi kondensatorn.

\begin{figure}[ht]
  \input{tikz_CAD}
  \caption{Strömstyrkans effekt på kondensatorströmmen, dubbel inkoppling}
  \label{CAD}
\end{figure}

\subsubsection{Deldrift}
I deldrift, dvs. i den vänstra och mittre kurvan
 i figur \ref{CAD} är det mest praktiskt att beräkna $q$ genom att
ta ytan av den mörkgråa triangeln.
Dess höjd är $i_2 = I_{in} - \max i_L$ resp. $i_4 = k_t \max i_L - I_{ut}$ och
bredden är $(P_x + P_y)T_s$ (vi har dubbel inkoppling),
 där $P_x$ och $P_y$ är som $P_x$ i stycket om enkel inkoppling fast på
 högra resp. vänstra sidan av $T_1$.
Det ger att $P_x = i_2 / I_A$, $P_y = - i_2 / I_B$ för ingången och
$P_x = i_4 / I_A$, $P_y = - i_4 / I_B$ för utgången.\\[1ex]
%
%\eqnline{\Delta U_C}{=}{\frac{(    \max i_L - I_{in})^2T_s}{2C}(\frac{1}{I_A} + \frac{1}{-I_B})}{\text{för ingången}}\\[1ex]
%\eqnline{\Delta U_C}{=}{\frac{(k_t \max i_L - I_{ut})^2T_s}{2C}(\frac{1}{I_A} + \frac{1}{-I_B})}{\text{för utgången}}\\[1ex]
\eqnline{\Delta U_{C_{in}}}{=}{\frac{i_2^2T_s}{2C_{in}}(\frac{1}{I_A} + \frac{1}{-I_B})}{\text{deldrift, ing.}}\\[1ex]
\eqnline{\Delta U_{C_{ut}}}{=}{\frac{i_4^2T_s}{2C_{ut}}(\frac{1}{I_A} + \frac{1}{-I_B})}{\text{deldrift, utg.}}\\[2ex]
%
För att se hur $\Delta U_C$ beror på $L$ kan vi först börja med att titta på:\\[1ex]
\eqnlineB{\frac{1}{I_A} + \frac{1}{-I_B}}{=}{
  (\frac{1}{U_A} + \frac{1}{-U_B})\frac{L}{T_s}
  = (1 + \frac{1}{M_L})\frac{L}{U_AT_s}
}\\[1ex]
\eqnlineB{}{=}{
  \frac{(1+M_L)L}{M_LU_AT_s}
  = \frac{(1+M_L)L}{-U_BT_s}
}\\[1ex]
%
För ingången har vi:\\[-1ex]
\[
a = \frac{1+M_L}{2M_LC_{in}U_A}
\quad
b = \sqrt{ \frac{2M_L U_A T_s I_{in}}{1+k_B} }
\quad
c = I_{in}
\qquad\qquad
  \]
%
Och dito, utgången:\\[-1ex]
\[
a = \frac{1+M_L}{2C_{ut}(-U_B)}\quad
b = \sqrt{ \frac{2(-U_B)T_sk_tI_{ut}}{1+k_AM_L} }\quad
c = k_t I_{ut}\qquad\qquad
  \]
%
Detta är samma värden på $b$ och $c$ som för enkel inkoppling och strömstyrka I
 och vi får samma nollställe och minimum, det som skiljer sig är värdet på $a$.
Det gör att $\Delta  U_C$ minskar med ökande $L$
 så länge induktorn befinner sig i deldrift.

\subsubsection{Gräns- och heldrift}
I gräns- och heldrift med dubbel inkoppling är\\[1ex]
\eqnlineB{I_{in}}{=}{P_{in} I_M = I_M}\\[1ex]
%
och vi vet sedan tidigare att\\[1ex]
%\eqnlineB{I_M}{=}{\frac{\max i_L + \min i_L}{2}}\\[1ex]
%\eqnlineB{I_{LPP}}{=}{P_A I_A = \max i_L - \min i_L}\\[1ex]
\eqnlineB{I_M + \frac{I_{Lpp}}{2}}{=}{\frac{\max i_L + \min i_L}{2} + \frac{\max i_L - \min i_L}{2} = \max i_L}\\[1ex]
\eqnlineB{I_M - \frac{I_{Lpp}}{2}}{=}{\frac{\max i_L + \min i_L}{2} - \frac{\max i_L - \min i_L}{2} = \min i_L}\\[1ex]
%
Detta ger att\\
\eqnlineB{i_1 = I_{in} - \min i_L}{=}{I_M - \min i_L = \frac{I_{LPP}}{2}}\\[1ex]
\eqnlineB{i_2 = I_{in} - \max i_L}{=}{I_M - \max i_L = -\frac{I_{LPP}}{2}}\\[1ex]
och vi ser att\\
\eqnlineB{i_2}{=}{-i_1}\\
%
dvs. strömkurvan ligger symmetriskt runt tidsaxeln och
 $i_1$ och $i_2$ är oberoende av $I_{in} = I_M$ i gräns- och heldrift.
På grund av dessa symmetrier är basen för den mörkgråa triangeln $T_s/2$
och\\
\eqnline{\Delta U_C}{=}{\frac{I_{LPP} T_s}{8C}}{\text{Gräns- och heldrift}}\\[1.5ex]
%
dår $C$ är $C_{in}$ resp. $C_{ut}$ beroende på vilken sida som har den dubbla inkopplingen.

\subsection{Spänningsvariationen över $R_C$}

Spänningen över det interna motståndet är $I_C R_C$
och dess variation blir $(\max I_C - \min I_C) R_C$.
Eftersom vi bara är intresserade av beloppet och inte tecknet kan vi ta absolutbeloppet av det.
Strömmens variation kan vi då kalla $\Delta I_C = \abs{\max I_C - \min I_C}$.

Om vi går tillbaka och tittar på figur \ref{CAC} och \ref{Csimplex} är
det ena extremvärdet $I_{in}$ resp. $I_{ut}$ och det andra $i_2$ resp. $i_4$.
Som vi ser av figurerna är $I_{in} - i_2 = \max i_L$ och $I_{ut} - i_4 = k_t \max i_L$,
eller $\Delta I_C = \max i_L$ oberoende om det är ingångs- eller utgengssidan.
Tittar vi på figur \ref{CAD} ser vi samma extremvärden utom för heldrift.
Vi får (med hjälpvariabeln $K_R$)\\[1ex]
%
\eqnlineB{K_R}{=}{\sqrt{\frac{(-U_B)T_sk_tI_{ut}}{1+k_AM_L}}}\\[1ex]
\makebox[\widthA]{$\hfill\displaystyle{\Delta U_R}$}%
{$\:\displaystyle{=}\:$}%
{$\left\{%
\begin{array}{l}
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{R_C \max i_L = R_C I_{Lpp} =
      R_C K_R\sqrt{\frac{2}{L}}}
    $\hfill }deldrift}\\[2.5ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{R_C \max i_L =
      R_C \frac{K_R}{\sqrt{2L}} + R_C\frac{1+M_L}{1+k_AM_L} k_t I_{ut}%
 }$\hfill }enkel ink., heldrift}\\[2.5ex]
\text{\makebox[\widthC]{$\displaystyle{R_C I_{LPP}} = R_C \frac{-U_B T_s}{(1+M_L)L}$\hfill }dubbel ink., heldrift}
\end{array}
\right.$}%\\[2ex]

\end{document}

\section{Övrigt}

\subsection{Brytare}

Som vi såg i figur \ref{inv2}:B så motsvaras brytarens A-läge av en transistor och B-läget av en diod.
I moderna konstruktioner (i alla fall de under 600V) är transistorn ersatt av en mosfet,
men transistorn lever kvar i äldre kretsar som MC33063/64.

För att uppskatta effekten av detta kan man ersätta $U_{in}$ med $U_{in} - U_{sat}$
(där $U_{sat}$ är transistorns mättnadspänning) i formelns för $U_A$, och
i formeln för $U_B$ ersätta $U_{ut}$ med $U_{ut} + U_f$ (där $U_f$ är diodens framspänning).

På samma sätt kan man uppskatta effekten av en mosfet genom att ta använda spänningen $R_{DSon} I_M$
i $U_{sat}$-s resp. $U_f$-s ställe.
Likaså för induktorns interna motstånd $R_L$ som ger en variabel motspänning men som kan
uppskattas som $R_L I_M$.

Local Variables:
 compile-command: "make voltage_inverter_sv_SE.ps"
End:
